Численное интегрирование.
42-3xdx; 2;3
Метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников, метод центр. прямоугольников, метод трапеций и парабол.
Решение
Найдем значение интеграла на заданном отрезке с шагом 0,1 и точностью ε=0,001.
Вычислим функцию fx для значений xi:
x0=2; fx0=42-3x0=42-3∙2=4-4=0,00390625
x1=2,1; fx1=42-3∙2,1=0,002577164
x2=2,2; fx2=42-3∙2,2=0,001700294
x3=2,3; fx3=42-3∙2,3=0,001121776
x4=2,4; fx4=42-3∙2,4=0,000740096
x5=2,5; fx5=42-3∙2,5=0,000488281
x6=2,6; fx6=42-3∙2,5=0,000322145
x7=2,7; fx7=42-3∙2,7=0,000212537
x8=2,8; fx8=42-3∙2,8=0,000140222
x9=2,9; fx9=42-3∙2,9=0,000092512
x10=3,0; fx10=42-3∙3=0,0000610352
Метод левых прямоугольников.
abFxdx=hx∙y0+yn+…+yn-1
Вычислим значение заданного интеграла:
2342-3xdx=0,1∙0,00390625+0,002577164+0,001700294+0,001121776+
+0,000740096+0,000488281+0,000322145+0,000212537+
+0,000140222+0,000092512≈0,001130128
Метод правых прямоугольников.
abFxdx=hx∙y1+y2+y3+y4+…+yn
Вычислим значение заданного интеграла:
2342-3xdx=0,1∙0,002577164+0,001700294+0,001121776+0,000740096+
+0,000488281+0,000322145+0,000212537+0,000140222+
+0,000092512+0,0000610352≈0,000745606
Метод центральных прямоугольников.
Вычислим функцию fxc для значений xic.
Расчеты сведем в таблицу.
Номер итерации xc
fxc
0 2,05 0,003172861
1 2,15 0,002093308
2 2,25 0,001381068
3 2,35 0,000911165
4 2,45 0,000601145
5 2,55 0,000396608
6 2,65 0,000261663
7 2,75 0,000172633
8 2,85 0,000113896
9 2,95 0,000075143
abFxdx=hx∙y1c+y2c+y3c+y4c+…+ync
Вычислим значение заданного интеграла:
2342-3xdx=0,1∙0,002093308+0,001381068+0,000911165+0,000601145+
+0,000396608+0,000261663+0,000172633+0,000113896+0,000075143≈0,000600663
Метод трапеций.
Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:
abFxdx=hx∙Fx0+Fxn2+Fx1+…+Fxn-1
Вычислим значение заданного интеграла:
2342-3xdx=0,10,00390625+0,00006103522+0,002577164+0,001700294+0,001121776+
+0,000740096+0,000488281+0,000322145+0,000212537+0,00014022+0,000092512≈0,000937867
Метод парабол.
abFxdx=h3∙y0+yn+4∙y1+y3+…+yn-1+2∙y2+y4+…+yn-2
где S1=y1+y3+…+yn-1 и S2=y2+y4+…+yn-2.
В итоге получаем
S1=0,002577164+0,001121776+0,000488281+0,000212537+0,000092512=0,00449227
S2=0,001700294+0,000740096+0,000322145+0,000140222=0,002902758
2342-3xdx=0,13∙0,00390625+0,0000610352+4∙0,00449227+2∙0,002902758=
=0,13∙0,027741879=0,000924729
Найдем точное значение интеграла:
2342-3xdx=u=2-3xdudx=-3 → dx=-13du=-13234udu=-42-3x3∙ln423=
=-42-3∙33∙ln4--42-3∙23∙ln4=4-4-4-73∙ln4≈0,000924578731
Вычислим погрешности для всех методов:
QLP=0,000924578731-0,001130128=0,000205549
QPP=0,000924578731-0,000745606=0,000178973
QCP=0,000924578731-0,000600663=0,000323916
QTR=0,000924578731-0,000937867=0,0000132883
QPR=0,000924578731-0,000924729=0,000000150269
Наиболее точные это метод трапеций и метод парабол.
на новый заказ в Автор24.
