Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке с шагом h=0.2

А)
Приближенное решение в узлах ti, которое обозначим через yi, определяется по формуле
yi+1=yi+hfti,yi,
ti=1+ih, i=0,1,…,5
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
yi
0 1 -1 1
1 1,2 -0,13333 0,8
2 1,4 0,259048 0,773333
3 1,6 0,415143 0,825143
4 1,8 0,471854 0,908171
5 2 0,491102 1,002542
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.2)
yi+1=yi+∆yi, i=0,1,…, 5
∆yi=12K1i+K2i
K1i=hfxi,yi
K2i=hfxi+h,yi+K1i
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
yi
0 1 -1 -0,11333 -0,2 -0,02667 1
1 1,2 -0,40778 -0,02531 -0,08156 0,030927 0,886667
2 1,4 -0,03016 0,028313 -0,00603 0,062658 0,861352
3 1,6 0,197378 0,0597 0,039476 0,079925 0,889666
4 1,8 0,329961 0,077621 0,065992 0,089249 0,949366
5 2 0,405546 0,087684 0,081109 0,094259 1,026987
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.1)
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
y*i
0 1 -1 -0,07909 -0,1 -0,05818 1
1 1,1 -0,64645 -0,0479 -0,06464 -0,03115 0,920909
2 1,2 -0,36454 -0,02336 -0,03645 -0,01027 0,873012
3 1,3 -0,14502 -0,00445 -0,0145 0,005595 0,849648
4 1,4 0,022931 0,009899 0,002293 0,017504 0,845195
5 1,5 0,149689 0,020661 0,014969 0,026354 0,855093
6 1,6 0,244327 0,028655 0,024433 0,032877 0,875755
7 1,7 0,314367 0,034545 0,031437 0,037653 0,90441
8 1,8 0,365823 0,038856 0,036582 0,041129 0,938955
9 1,9 0,403396 0,041994 0,04034 0,043648 0,97781
10 2 0,430686 0,044266 0,043069 0,045464 1,019804
Решим аналитически:
y'+4t-1ty=2t, y1=1
Имеем линейное дифференциальное уравнение.
y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+uv'+uv 4t-1t=2t
u'v+uv'+v 4t-1t=2t
v'+v 4t-1t=0⟹dvdt=-v 4t-1t⟹dvv=-4-1tdt⟹
⟹lnv=lnt-4t⟹
v=elnt-4t=te-4t
u'te-4t=2t⟹u'=2e4t
u=2e4tdt=e4t2+C
y=te-4t∙e4t2+C=t2+Cte-4t
y1=1⟹12+Ce-4=1,C=e42
Точное решение:
yt=t(1+e4-4t)2.
Сравним все решения:
i ti
yЭ
Р-К: yh
Р-К: yh/2
yh-yh/2
yt
0 1 1 1 1 0 1
1 1,1
0,920909
0,918676
2 1,2 0,8 0,886667 0,873012 0,01366 0,869597
3 1,3
0,849648
0,845776
4 1,4 0,773333 0,861352 0,845195 0,01616 0,841328
5 1,5
0,855093
0,851501
6 1,6 0,825143 0,889666 0,875755 0,01391 0,872574
7 1,7
0,90441
0,901689
8 1,8 0,908171 0,949366 0,938955 0,01041 0,936686
9 1,9
0,97781
0,975958
10 2 1,002542 1,026987 1,019804 0,00718 1,018316
Построим график:
Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода второго порядка имеет вид
yt-yh/2=13yh-yh/2
Максимальная погрешность при t=1.4 для h = 0.1 не превышает
εрунге=0.016163≈0.00539
Практическая погрешность в точке t = 1.4 не превышает εрунге.
εt=0.6=yt-yh/2=0.841328-0.845195=0.00387.