Частица находится в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками и шириной a

Волновая функция частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме имеет вид
ψn(x)=2asinnπxa
Где n=1,2,3…
Решим сначала задачу в общем случае для произвольного значения квантового числа n, а потом в полученное решение подставим значение n.
px=0aψn*xpψnxdx=hi⋅2a0asinπnxa∂∂xsinπnxadx=hiasin2πnxa0a=0
Таким образом, px=0 . Т.е. ответ не зависит от n, значит не зависит от уровня, на котором находится частица в потенциальной яме.
Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса px2:
px2=-ℏ2∂2∂x2
px2=0aψn*xp2ψnxdx=-ℏ22a0asinπnxa∂2∂x2πnxadx=-2ℏ2a-π2n2a20asin2∂2∂x2x=2ℏ2a⋅πn2a2⋅a2=π2ℏ2n2a2
Подставим n
n=1:
px2=π2ℏ2a2
n=2:
px2=4π2ℏ2a2
n=3:
px2=9π2ℏ2a2
px=?
px2=?
Ответ: px=0 для любого n; px2=π2ℏ2a2 для n=1; px2=4π2ℏ2a2 для n=2; px2=9π2ℏ2a2 для n=3.