Цепь состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости С и сопротивления R

По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений можно записать:
UC+UR=U.
UC+UR=Umcost
По закону Ома:
UR=IR;
Заряд конденсатора определяется по формуле:
q=CUC.
Тогда сила тока
I=dqdt=dCUCdt=CdUCdt.
Уравнение примет вид:
RCdUCdt+UC=Umcost.
Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Как известно, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения является сумма общего решения для соответствующего однородного уравнения и любого частного решения для данного неоднородного уравнения
UC=UC (О)+UC (Ч).
Найдем общее решение для однородного уравнения
RCdUCdt+UC=0.
Интегрирование выполним методом разделения переменных.
RCdUCdt=-UC
dUCUC=-dtRC;
lnUC-lnA=-dtRC.
Здесь (-lnA) –константа интегрирования.
Окончательно получим общее решение однородного уравнения в виде:
UC (О)=Ae-tRC.
Частное решение будем искать в виде:
UC (Ч)=Bcost-;
Здесь – угол, на который напряжение на конденсаторе отстает от напряжения внешнего источника.
Подставим это выражение в уравнение
RCdUCdt+UC=Umcost;
-RCBsint-+Bcost-=Umcost-+;
RCBcost-+2+Bcost-=Umcost-+;
Применим метод векторных диаграмм . Возьмем момент времени, когда
t-=0
RCBcos2+Bcos0=Umcos;
На это уравнение можно смотреть как на проекцию результата сложения двух векторов с модулями:
UR m=RCB;
Uс m=B.
По теореме Пифагора:
UR m2+Uс m2=Um2;
RCB2+ B2=Um2
B=UmRC2+1=UmCR2+1C2.
Угол определим из соотношения:
tg=UR mUс m=RCBB=RC
Таким образом:
UC Ч=UmCR2+1C2cost-;
Запишем общее решение для неоднородного уравнения:
UC=Ae-tRC+UmCR2+1C2cost-.
Константу интегрирования A найдем из условия коммутации: заряд и напряжение на конденсаторе в начальный момент были равны нулю и не могли измениться скачком, поэтому для t =0 имеем:
0=Ae-0RC+UmCR2+1C2cos·0-.
A=-UmCR2+1C2cos
Подставив это значение, получим:
UC=UmCR2+1C2cost--cos·e-tRC.
Найдем ток:
I=CdUCdt=CUmCR2+1C2ddtcost--cos·e-tRC=UmR2+1C2-sint-+cosRC·e-tRC=UmR2+1C2-sint-+cosRC·e-tRC.
Запишем окончательное выражение:
I=UmR2+1C2-sint-+costg·e-tRC.
Покажем, что это выражение дает правильное значение тока в момент коммутации