Центральное растяжение – сжатие
Дано:
Брус - стальной, Е = 2·105 МПа, F1 = 27,0 кН, F2 = 45,0 кН, F3 = 78,0 кН, [σ] = 140 МПа,
А2 = 0,8А1
Требуется:
1. Определить из условия прочности необходимую площадь поперечных сечений А1 и А2, сохранив при этом конструктивную форму бруса.
2. Вычислить и построить эпюры продольных сил Ni, нормальных напряжений σi и перемещений поперечных сечений.
Рисунок 6. Заданная схема ступенчатого бруса
Ответ
А1 = 8,62 см2, А2 = 6,9 см2. Брус в целом удлиниться на Δ = 0,184 мм.
Решение
Проводим ось Х, совпадающую с продольной осью бруса, обозначаем границы участков: I,...V, буквами и в пределах каждого выделенного силового участка проводим сечение и последовательно рассматривая равновесие правой отсеченной части бруса находим внутреннюю продольную силу на этом участке.
Предварительно находим реакцию RA жесткой заделки А.
Рисунок 6.1
Условие равновесия бруса: ΣF1X = 0, и в развернутом виде:
RA + F2 - F1 - F3 = 0, ⇒ RA = - F2 + F1 + F3 = - 45 + 27 + 78 = 60,0 кН.
Определяем продольные силы на каждом из участков.
Участок I (KE): l1 = 0,1 м. N1 = 0, т.к. внешние нагрузки - отсутствуют.
Участок II (ED): l2 = 0,6 м. N2 = - F1 = - 27,0 кН,
Участок III (DC): l3 = 0,1 м
. N3 = - F1 + F2 = - 27,0 + 45,0 = 18,0 кН,
Участок IV (CB): l4 = 0,35 м. N4 = - F1 + F2 = - 27,0 + 45,0 = 18,0 кН,
Участок V (BA): l5 = 0,35 м. N5 = - F1 + F2 + F3 = - 27,0 + 45,0 + 78 = 96,0 кН.
По полученным результатам строим эпюру продольных сил N (рис.6.2,б).
Максимальная продольная сила равна: Nmax = N5 = 96,0 кН.
Условие прочности при растяжении (сжатии), имеет следующий вид:
σmax = Nmax/А2 ≤ [σ], отсюда находим требуемую площадь сечения А2:
А2 ≥ Nmax/[σ] = N5/[σ] = 96,0·103/140·106 = 6,86·10-4 м2 = 6,86 см2, принимаем, округляя в большую сторону А2 = 6,9 см2. Тогда А1 = А2/ 0,8 = 6,9/0,8 = 8,62 см2.
Проверка значения А1 по условию прочности не требуется, так как на всех трех
участках, площади сечений которые равны А1, величины продольных сил меньше Nmax = N5 = 60,0 кН.
Определяем нормальные напряжения на всех участках:
σ1 = N1/А1 = 0/5,38 = 0,
σ2 = N2/А1 = - 27,0·103/8,62·102 = - 31,32 Н/мм2 = - 31,32 МПа <[σ]
σ3 = N3/А1 = 18,0·103/8,62·102 = 20,09 МПа <[σ]
σ4 = N4/А2 = 18,0·103/6,9·102 = 26,09 МПа <[σ]
σ5 = N5/А2 = 96,0·103/6,9·102 = 139,13 МПа <[σ].
По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.6.2,в).
Находим абсолютные удлинения (укорочения) отдельных участков.
Δ1 = σ1·l1/E = 0·l1/E = 0,
Δ2 = σ2·l2/E = - 50,19·600/2·105 = - 0,151 мм,
Δ3 = σ3·l3/E = 33,46·100/2·105 = 0,017 мм,
Δ4 = σ4·l4/E = 41,96·350/2·105 = 0,073 мм,
Δ5 = σ5·l5/E = 139,86·350/2·105 = 0,245мм
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
