Центральное растяжение – сжатие.
Дано:
Брус - стальной, Е = 2·105 МПа, F1 = 24,0 кН, F2 = 40,0 кН, F3 = 17,0 кН, [σ] = 160 МПа,
А2 = 1,5А1
Требуется:
1. Определить из условия прочности необходимую площадь поперечных сечений А1 и А2, сохранив при этом конструктивную форму бруса.
2. Вычислить и построить эпюры продольных сил Ni, нормальных напряжений σi и перемещений поперечных сечений.
Рисунок 9. Заданная схема ступенчатого бруса
Ответ
А1 = 1,5 см2, А2 = 2,25 см2. Брус в целом укоротится на Δ = 0,291 мм.
Решение
Проводим ось Х, совпадающую с продольной осью бруса, обозначаем границы участков: I,...V, буквами и в пределах каждого выделенного силового участка проводим сечение и последовательно рассматривая равновесие правой отсеченной части бруса находим внутреннюю продольную силу на этом участке.
Предварительно находим реакцию RA жесткой заделки А.
Рисунок 9.1
Условие равновесия бруса: ΣF1X = 0, и в развернутом виде:
RA - F3 - F2 + F1 = 0, ⇒ RA = F3 + F2 - F1 = 17 + 40 - 24 = 33,0 кН.
Определяем продольные силы на каждом из участков.
Участок I (ЕD): l1 = 0,4 м. N1 = F1 = 24 кН.
Участок II (DC): l2 = 0,4 м. N2 = F1 - F2 = 24 - 40 = - 16,0 кН,
Участок III (CB): l3 = 0,5 м
. N3 = F1 - F2 = 24,0 - 40,0 = - 16,0 кН.
Участок IV (BA): l4 = 0,3 м. N4 = F1 - F2 - F3 = 24,0 - 40,0 - 17,0 = - 33,0 кН.
По полученным результатам строим эпюру продольных сил N (рис.9.2,б).
Максимальная продольная сила (по модулю), равна: Nmax = N4 = 33,0 кН.
Условие прочности при растяжении (сжатии), имеет следующий вид:
σmax = Nmax/А2 ≤ [σ], отсюда находим требуемую площадь сечения А2:
А2 ≥ Nmax/[σ] = N3/[σ] = 33,0·103/160·106 = 20,62·10-5м2 = 2,06 см2, принимаем
А2 = 2,1 см2, тогда А1 = А2/ 1,5 = 2,1/1,5 = 1,4 см2.
σ1 = N1/А1= 24·103/1,4·10-4 = 171,43 МПа > [σ] = 160 МПа, следовательно условие прочности - не выполняется для участка I, сечение которого А1.
Корректируем площадь А1.
А1 ≥ N1/[σ] = 24·103/(160·106) = 1,5 см2, тогда, что бы сохранить заданное соотношение между площадями, получим: А2 = 1,5·А1 = 1,5·1,5 = 2,25 см2,
σ1 = N1/А1 = 24·103/1,5·10-4 = 160 МПа (определено выше),
σ2 = N2/А1 = -16,0·103/1,5·10-4 = - 106,67 МПа <[σ]
σ3 = N3/А2 = - 16,0·103/2,25·10-4 = -71,11 МПа < [σ]
σ4 = N4/А2 = - 33,0·103/2,25·10-4 = -146,67 МПа < [σ]
По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.9.2,в).
Находим абсолютные удлинения (укорочения) отдельных участков.
Δ1 = σ1·l1/E = 160,0·400/2·105 = 0,320 мм
Δ2 = σ2·l2/E = -106,67·400/2·105 = - 0,213 мм,
Δ3 = σ3·l3/E = - 71,11,0·500/2·105 = - 0,178 мм,
Δ4 = σ4·l4/E = - 146,67·300/2·105 = - 0,220 мм,
Определяем перемещения границ участков, учитывая что сечение жесткой заделки А, равно нулю, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
