Автомобильный завод выпускает машины типов А и В

Составим математическую модель задачи.
Цель задачи заключается в максимизации прибыли от выпуска автомобилей. Прибыль можно определить по следующей формуле:
2000∙х1+2400∙х,
Где x1,x2- количество машина вида А, В соответственно, запланированных к выпуску (шт).
Цель задачи: max2000∙x1+2400∙x2
Ограничения задачи состоят в производственных мощностях отдельных цехов и участков (таблица ).
x1120+х2110≤1x180+х2320≤1x1110+х2110≤1x1240+х2120≤1x1160+х280≤1x1280+х270≤1
Так же следует наложить ограничения на переменные: x1, x2≥0.
Тогда математическая модель задачи будет следующей:
min2000x1+2400∙x2
x1120+х2110≤1x180+х2320≤1x1110+х2110≤1x1240+х2120≤1x1160+х280≤1x1280+х270≤1
x1, x2≥0
Решим полученную математическую модель графическим методом.
Для решения задачи графическим методом следует построить область допустимых решений задачи, заданную технологическими ограничениями и ограничениями на переменные .
Выполним построение в декартовой системе координат x1Ox2.
Определим область допустимых значений (рисунок 1 ).
Рисунок 1 – Область допустимых значений
Построим вектор-градиент целевой функции, имеющий координаты
grad F=∂F∂x1;∂F∂x2=2000;2400
В заданных отрезках на осях проще построить вектор, коллинеарных градиенту с координатами g=20;24 и определим положение линии уровня, проходящую через вершину области допустимых решений в направлении вектора-градиента целевой функции (рисунок 2).
Рисунок 2 – Определение максимального значения целевой функции
Очевидно, что точкой максимума целевой функции является точка D, лежащая в пересечении прямых, заданных уравнениями:
1110x1+1110x2=11160x1+180x2=1
Определим координаты точки D, решив эту систему уравнений.
x1+x2=110x1+2x2=160
x1+x2=110x2=50
x1=110-50=60⇒x2=50
Значение целевой функции при найденных значениях переменных будет равно: 2000∙x1+24000∙x2=2000*50+2400*60=240000
Ответ: наиболее рентабельная программа –это выпуск 60 шт автомобилей вида А, 50 шт автомобилей вида В