Анализ разветвленной электрической цепи переменного тока

Составляем расчетную схему (рис. 1).
Рис. 1
2. Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров (рис. 1). Цепь содержит три ветви с неизвестными токами и два узла. Система уравнений для трех неизвестных токов включает три уравнения, одно из которых составлены по первому и два по второму законам Кирхгофа.
Записываем систему уравнений в дифференциальной форме:
i1-i2-i3=01C1i1dt+L1di1dt+i1R1+i2R2+L2di2dt=e1-i2R2-L2di2dt+L3di3dt+1C3i3dt=0
Записываем систему уравнений в символической форме:
I1-I2-I3=0I1-jXC1+I1jXL1+I1R1+I2R2+I2jXL2=E1-I2R2-I2jXL2+I3jXL3+I3-jXC3=0
3. Рассчитаем комплексные действующие значения токов во всех ветвях цепи методом эквивалентных преобразований. Определяем угловую частоту переменного тока:
Комплексное действующего значение источника ЭДС:
E1=Em12ejψe1=141,4e-j45°2=99,985e-j45°=70,7-j70,7 В
Рассчитываем реактивные сопротивления элементов:
XL1=ω∙L1=314∙0,5=157 Ом
XC1=1ω∙C1=1314∙20∙10-6=159,236 Ом
XL2=ω∙L2=314∙0,3=94,2 Ом
XL3=ω∙L3=314∙0,6=188,4 Ом
XC3=1ω∙C3=1314∙20∙10-6=159,236 Ом
Составляем эквивалентную схему замещения цепи (рис . 2):
Рис. 2
Комплексные полные сопротивления ветвей цепи:
Z1=R1+jXL1-jXC1=100+j157-j159,236=100-j2,236=100,025e-j1,281° Ом
Z2=R2+jXL2=150+j94,2=177,126ej32,129° Ом
Z3=jXL3-jXC3=j188,4-j159,236=j29,164=29,164ej90° Ом
Эквивалентное комплексное сопротивление участка цепи с параллельным соединением сопротивлений Z2 и Z3:
Z23=Z2∙Z3Z2+Z3=177,126ej32,129° ∙29,164ej90°150+j94,2+j29,164=5165,763ej122,129°150+j123,364=5165,763ej122,129°194,213ej39,435°=26,598ej82,694°=3,383+j26,382 Ом
Схема после преобразования показана на рис. 3.
Рис. 3
Эквивалентное комплексное сопротивление всей цепи:Zэкв=Z1+Z23=100-j2,236+3,383+j26,382=103,383+j24,147=106,165ej13,147° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 4.
Рис. 4
Комплексное действующее значение тока в неразветвленной части цепи:
I1=E1Zэкв=99,985e-j45°106,165ej13,147°=0,942e-j58,147°=0,497-j0,8 А
Определяем комплексное действующее значение напряжения на параллельном участке цепи:
U23=I1∙Z23=0,942e-j58,147°∙26,598ej82,694°=25,05ej24,547°=22,786+j10,407 В
Комплексные действующее значения токов в параллельных ветвях:
I2=U23Z2=25,05ej24,547°177,126ej32,129°=0,141e-j7,582°=0,14-j0,019 А
I3=U23Z3=25,05ej24,547°29,164ej90°=0,859e-j65,453°=0,357-j0,781 А
3