Анализ линейной цепи постоянного тока

Составим систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. При этом обозначим на схеме все узлы, независимые контура и условно-положительные направления токов в ветвях (рис.1.2):
Рис.1.2. Расчетная схема к методу законов Кирхгофа
В схеме четыре узла (1, 2, 3, 4), шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трём (на одно меньше количества узлов), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров I, II, III.
-I1+I5-I6=0-для узла 1I1+I2+I3=0-для узла 2-I2+I4-I5=0-для узла 3I1r1-I3r3-I6r7=E1-E3-для контура I-I2r2+I3r3-I4r4=-E2-E5-E4+E3-для контура III4r4+I5r5+I6r6=E4+E6-для контура III
После подстановки исходных данных получим состему:
-I1+I5-I6=0I1+I2+I3=0-I2+I4-I5=02I1-2I3-5I6=2-8I2+2I3-4I4=-184I4+10I5+8I6=14
Найдем все токи, пользуясь методом контурных токов
Для трех контуров схемы выберем направление обхода контуров по часовой стрелке и в соответствии с обозначенными на схеме направлениями токов составим уравнения по второму закону Кирхгофа для этих контуров (рис.1.3)
Рис.1.3 . Расчетная схема к методу контурных токов
I11r1+r3+r7-I22r3-I33r7=E1-E3-I11r3+I22r2+r3+r4-I33r4=-E2-E5-E4+E3-I11r7-I22r4+I33r4+r5+r6+r7+r8=E4+E6
После подстановки исходных данных имеем
I112+2+5-2I22-5I33=12-10-2I11+I228+2+4-4I33=-10-12-6+10-5I11-4I22+I334+10+8+5+2=6+8
Упрощаем
9I11-2I22-5I33=2-2I11+14I22-4I33=-18-5I11-4I22+29I33=14
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как

Собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=r1+r3+r7=2+2+5=9 Ом
R22=r2+r3+r4=8+2+4=14 Ом
R33=r4+r5+r6+r7+r8=4+10+8+5+2=29 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров:
R12=R21=-r3=-2 Ом;
R13=R31=-r7=-5 Ом
R23=R32=-r4=-4 Ом

Находим
∆=9-2-5-214-4-5-429=9∙14∙29+-2∙-4∙-5+-2∙-4∙-5--5∙14∙-5--2∙-2∙29--4∙-4∙9=3654-40-40-350-116-144=2964
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=2-2-5-1814-414-429=468
∆2=92-5-2-18-4-51429=-3448
∆3=9-22-214-18-5-414=1036
Находим контурные токи
I11=∆1∆=4682964=0,158 А
I22=∆2∆=-34482964=-1,163 А
I33=∆3∆=10362964=0,350 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I11=0,158 A
I2=-I22=1,163 A
I3=I22-I11=-1,163-0,158=-1,321 A
I4=I33-I22=0,350-(-1,163)=1,513 A
I5=I33=0,350 A
I6=I33-I11=0,350-0,158=0,192 A
Получившееся отрицательным значение тока I3 означает, что в действительности направление этого тока противоположно тему, что было выбрано и обозначено на рис.1.3.
Баланс мощностей
Суммарная мощность источников ЭДС
Pист=E1I1+E2+E5I2+E3I3+E4I4+E6I5
Pист=12·0,158+10+12·1,163+10·(-1,321)+6·1,513 +8·0,350 =26,150 Вт
Суммарная мощность приемников
Pпр=I12r1+I22r2+I32r3+I42r4+I52r5+r6+r8+I62r7
Pпр=0,1582∙2+1,1632∙8+1,3212∙2+1,5132∙4+0,350210+8+2+0,1922∙5=26,152 Вт
Таким образом получили, что
Pист=Pпр, т.е