Аналитически отыскать безусловный экстремум функции

А) Аналитически отыскать безусловный экстремум функции, используя аппарат необходимых и достаточных условий.
Запишем градиент функции:
∇fX=2x-18y-8
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
2x-1=08y-8=0
2x=18y=8
x=0,5y=1
Получена стационарная точка функции X*=0,51
Составим матрицу Гессе:
∂2f∂y2=2;
∂2f∂y∂z=0;
∂2f∂z∂y=0;
∂2f∂z2=8;
H=2008
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке:
HX*=2008
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=2>0
∆2=2*8=16>0
Матрица Гессе является положительно определенной HX*>0, значит точка X*=0,51 является точкой локального минимума функции.
Ответ: Функция fX имеет локальный безусловный минимум в точке с координатами X*=0,11, f(0,5;1)=11,75
б) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 3 итерации методом градиентного спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=x2+4y2-x-8y+16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2x-18y-8
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+4*02-0-8*0+16=16
∇fX0=2*0-18*0-8=-1-8
∇fX0=(-1)2+(-8)2=8,06226
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
Примем шаг t0=0,1
X1=00-0,1*-1-8=0,10,8
fX1=12,07
fX1<fX0, значит шаг выбран удачно
∇fX1=2x-18y-8=-0,8-1,6
∇fX1=(-0,8)2+(-1,6)2=1,78885
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1
Примем шаг t1=0,1
X2=0,10,8-0,1*-0,8-1,6=0,180,96
fX2=11,8588
fX2<fX1, значит шаг выбран удачно
∇fX2=-0,64-0,32
∇fX2=(-0,64)2+(-0,32)2=0,71554
Итерация 3:
Вычислим точку X3 по формуле:
X3=X2-t2∇fX2
Примем шаг t2=0,1
X3=0,180,96-0,1*-0,64-0,32=0,2440,992
fX3=11,81579
fX3<fX2, значит шаг выбран удачно
∇fX3=-0,512-0,064
∇fX3=(-0,512)2+(-0,064)2=0,51598
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№ x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0 0 0
-1 -8 8,06226 16
1 0,1 0,8 0,1 -0,8 -1,6 1,78885 12,07
2 0,18 0,96 0,1 -0,64 -0,32 0,71554 11,8588
3 0,244 0,992 0,1 -0,512 -0,064 0,51598 11,81579
в) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом наискорейшего спуска (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=x2+4y2-x-8y+16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2x-18y-8
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+4*02-0-8*0+16=16
∇fX0=2*0-18*0-8=-1-8
∇fX0=(-1)2+(-8)2=8,06226
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*-1-8=t08t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=(t0)2+4*(8t0)2-t0-8*8t0+16=257t02-65t0+16
dfX1dt0=514t0-65>0
t0=0,12646
d2fX1dt02=514>0
при t0=0,12646 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=0,126468*0,12646=0,126461,01167
fX1=11,89008
∇fX1=-0,747080,09339
∇fX1=(-0,74708)2+0,093392=0,75290
г) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 2 итерации методом сопряженных градиентов (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=x2+4y2-x-8y+16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2x-18y-8
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+4*02-0-8*0+16=16
∇fX0=2*0-18*0-8=-1-8
∇fX0=(-1)2+(-8)2=8,06226
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*-1-8=t08t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=(t0)2+4*(8t0)2-t0-8*8t0+16=257t02-65t0+16
dfX1dt0=514t0-65>0
t0=0,12646
d2fX1dt02=514>0
при t0=0,12646 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=0,126468*0,12646=0,126461,01167
fX1=11,89008
∇fX1=-0,747080,09339
∇fX1=(-0,74708)2+0,093392=0,75290
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1+t1d1
d1=-∇fX1+β0d0
d0=-∇fX0
β0=∇fX12∇fX02
β0=0,7529028,062262=0,00872
d1=--0,747080,09339+0,00872*18=0,75580-0,02363
X2=0,126461,01167+t10,75580-0,02363=0,12646+0,75580t11,01167-0,02363t1
f(X2)=0,57347t12-0,56685t1+11,89077
dfX2dt1=1,14693t0-0,56685>0
d2fX2dt12=1,14693>0
при t1=0,49423 функция fX2 принимает минимальное значение
X2=0,50,99999
f(X2)=11,75
∇fX2=0-0,00007
∇fX1=0,00007
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№
0 x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0
0
- -1 -8 8,06226
16
β
dx
dy
- 1 8
1 x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0,12646
1,01167
0,12646 -0,74708 0,09339 0,75290
11,89008
β
dx
dy
0,00872 0,75580 -0,02363
2 x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0,5 0,99999 0,49423 0 -0,00007 0,00007 11,75
д) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом Ньютона (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=x2+4y2-x-8y+16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2x-18y-8
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+4*02-0-8*0+16=16
∇fX0=2*0-18*0-8=-1-8
∇fX0=(-1)2+(-8)2=8,06226
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-H-1X0∇fX0
Вычислим матрицу обратную к матрице Гессе, вычисленной в точке X0:
HX0=2008
H-1X0=0,5000,125
Тогда
X1=00-0,5000,125*-1-8=0,51
f(X1)=11,75
∇fX1=00
∇fX1=02+02=0
Траектории спуска всех методов на одном рисунке:
Этап №2 Тема: Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства