АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
– проанализировать характер движения материальной точки или твердого тела (системы тел);
– показать все активные и реактивные силы, действующие на тело (систему);
– выбрать метод решения задачи, соответствующий характеру движения тела (системы), описываемому одной из теорем динамики системы (твердого тела);
– записать дифференциальные уравнения движения тела (системы);
– решить полученную систему уравнений и определить закон движения тела (системы).
Дано:
m1;m2;m3 - массы тел;
r1;R1;r2 и ρ1;ρ2 – радиусы и радиусы инерции блока и катка;
F;M - сила и пара сил;
μ - коэффициент трения;
α;β - углы.
Найти закон движения системы.
Решение
1) В зависимости от исходных величин, блок может вращаться в любом направлении, либо оставаться в покое вместе со всей системой, если действующие активные силы не в состоянии преодолевать порог силы трения бруска.
2) На блок 1 действуют силы натяжения нитей T2 и T3, которые равны по величине и противоположны по направлению сил натяжения, действующих на каток 2 и брусок 3 соответственно. Силы тяжести и реакции блока центральные и не играют никакой роли в его вращательном движении.
На каток действует сила F, силы тяжести m2g, натяжении нити T2, реакции N2 и пара сил M.
На брусок – силы тяжести m3g, натяжения нити T3, реакции N3 и сила трения Fтр=μN3, направленная против движения.
3) Для тел 1 и 2 запишем уравнения динамики вращетельного движения относительно осей Oz и Mz соответственно (движение против часовой стрелки примем за положительное):
T2r1-T3R1=I1ε1; 1
Fr2-2T2r2+m2gsinαr2-M=I2ε2, 2, где:
ε1 и ε2 - угловые ускорения тел 1 и 2;
I1=m1ρ12 - момент инерции блока относительно оси Oz;
I2=m2ρ22+r22 - момент инерции катка относительно оси MZ (по теореме Штейнера).
Для бруска запишем уравнение динамики (направления осей X и Y показаны на рисунке):
T3-m3gsinβ±μN3=m3a3; 3a
N3-m3gcosβ=0
. 3b, где:
a3 - ускорение бруска.
Знак перед μN3 отрицателен, если брусок движется вверх.
Из уравнений (3a) и (3b), сократив N3, получим:
T3-m3gsinβ∓μcosβ=m3a3. 3
4) Угловые ускорения блока и катка и ускорение бруска связаны соотношениями:
ε1r1=ε2r2⇒ε2=r1r2ε1=kε1; 4, где k=r1r2;
ε1R1=a3. (5)
В итоге получим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными T1, T2 и ε1:
T2r1-T3R1=I1ε1Fr2-2T2r2+m2gsinαr2-M=I2kε1T3-m3gsinβ∓μcosβ=m3ε1R1⇒T2r1-T3R1=I1ε12T2r2=Fr2+m2gsinαr2-M-I2kε1T3=m3gsinβ∓μcosβ+m3ε1R1⇒
2T2r1-2T3R1=2I1ε12T2r1=Fr1+m2gsinαr1-Mk-I2k2ε1-2T3R1=-2m3gsinβ∓μcosβR1-2m3ε1R12⇒
Fr1+m2gsinαr1-Mk-I2k2ε1-2m3gsinβ∓μcosβR1-2m3ε1R12=2I1ε1;
Fr1+m2gsinαr1-Mk-2m3gsinβ∓μcosβR1=(2I1+I2k2+2m3R12)ε1;
ε1=Fr1+m2gsinαr1-Mk+2m3g±μcosβ-sinβR12I1+I2k2+2m3R12.
Угловое ускорение ε1, а значит и ε2 и a3, не зависит от времени, следовательно, движение системы описывается дифференциальным уравнением:
φ1=ε1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
