Абсолютно упругий удар. Два шара висят на подвесах

Известно (дано):
m1,2 - массы шариков (m1 – масса легкого шарика, m2 – масса тяжелого шарика (m1>m2));
l - длина нити;
α – начальный угол отклонения более легкого шарика;
Вид взаимодействия шариков – абсолютно упругий удар.
Абсолютно упругий удар – столкновение, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. В процессе такого удара тела деформируются, но деформации являются упругими. После соударения тела движутся с различными скоростями. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.
В момент, когда шарик 1 (легкий) отвели на некоторый начальный угол отклонений α ему придали потенциальную энергию, которая равна:
Eп1max0=m1∙g∙h=m1∙g∙l∙(1-cosα),
где h - высота на которую подняли шарик 1(h=l∙(1-cosα))
Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия шарика 1 непосредственно в момент перед соударением с шариком 2 равна потенциальная энергия шарика 1 в отведенном положении:
Eп1max0=Eк1max0→ m1∙g∙l∙1-cosα=m1∙V1 0 22,
где V1 0 - скорость шарика 1 перед соударением с шариком 2
V1 0 =2∙g∙l∙1-cosα
Скорость шарика 2 до соударения равна нулю:
V2 0 =0
При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.
m1∙V1 0 +m2∙V2 0 =m1∙V1 1 +m2∙V2 1
m1∙V1 0 22+m2∙V2 0 22=m1∙V1 1 22+m2∙V2 1 22
где V1 1 , V2 1 - скорости шарика 1 и 2 после соударения соответственно.
После преобразований получим:
m1∙V1 0 -V1 1 =m2∙V2 1 -V2 0
m1∙V1 0 2-V1 1 2=m2∙V2 1 2-V2 0 2
m1∙V1 0 -V1 1 ∙V1 0 +V1 1 =m2∙V2 1 -V2 0 ∙(V2 1 +V2 0 )
V1 0 +V1 1 =V2 1 +V2 0
Таким образом, получаем (и учтем, что V2 0 =0):
V1 1 =m1-m2∙V1 0 m1+m2
V2 1 =2∙m1∙V1 0 m1+m2
m1<m2 поэтому шарик 1 отскочит от шарика 2 и будет двигаться в противоположном направлении, чем перед ударом.
Рассмотрим дальнейшее движение шарика 2.
Согласно закону сохранения энергии Eк2max1=Eп2max1=Eполн2 1
Eк2max1 – максимальная кинетическая энергия шарика 2 после соударения;
Eп2max1 – максимальная потенциальная энергия шарика 2 после соударения;
Eполн2 1 –полная энергия шарика 2 после соударения;
Eп2 1=m2∙g∙∆h=m2∙g∙l∙1-cosβ=m2∙g∙l∙2∙sin2β2,
где H – высота, на которую поднимется шарик 2 после соударения;
∆h - угол отклонения шарика 2 после соударения.
Для малых β справедливо sinβ≈β
Eп2max1=m2∙g∙l∙2∙sin2β2≈2∙m2∙g∙l∙β24
Для малых углов также справедливо: x=β∙l→β=xl
x – координата шарика
Eп2max1≈2∙m2∙g∙l∙β24=m2∙gl∙x22
Закон сохранения энергии:
Eк2 1+Eп2 1=Eполн2 1=const
Возьмем производную от левой и правой части уравнения:
Производная суммы равна сумме производных:
Eп2 1'=m2∙gl∙x22'=m2∙g2∙l∙2x∙x'=m2∙gl∙x∙v
Eк2 1'=m2∙v22'=m22∙2v∙v'=m2∙v∙a
Eп2 1'+Eк2 1'=0
m2∙gl∙x∙v+m2∙v∙a=0→a=-glx
a=x''=-ω2∙x→ω=gl
Откуда получаем, что шарик, как и предполагалось, движется, как маятник с периодом T=2∙π∙gl
Т.е