Законы сохранения в классической механике

Введение
В природе известны и действуют фундаментальные законы – законы сохранения, которые проявляются во многих областях и явлениях природы. Это физические законы, утверждающие, что физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, при определённых условиях не изменяются с течением времени. Законы сохранения являются наиболее общими законами, имеют большое философское и эвристическое значение. Это такие всеобщие законы, как закон сохранения энергии, заряда, массы и т.д. Некоторые из них, такие, как например, закон сохранения энергии, выполняются всегда. Другие (например, законы сохранения, действующие во взаимодействиях элементарных частиц), выполняются только при определенных условиях.
В механических явлениях в основном проявляются три закона сохранения – закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Короткому описанию этих законов и посвящена данная работа.
Отметим также, что законы сохранения связаны с симметриями физических систем. Так, механические законы сохранения (энергии, импульса и момента импульса) являются следствиями пространственно-временных симметрий (однородность и изотропность времени и пространства). Они тесно связаны также с философией. Все сказанное свидетельствует о важности и актуальности темы данной работы.
Цель этой работы: изложить законы сохранения в классической механике и привести примеры их применения.
Задачи реферата:
рассмотреть и обобщать основные понятия и физические величины, фигурирующие в законах сохранения в классической механике;
рассмотреть и коротко изложить три закона сохранения в механике.
проиллюстрировать применение этих законов на конкретных примерахв виде задач.
1 Основные понятия и определения
1. Одним из важных понятий, связанным с законами сохранения является замкнутая система.
Законы сохранения в механике выполняются в замкнутых системах материальных точек или тел.
Система нескольких тел или материальных точек называется замкнутой (консервативной), если на них не действуют тела или точки, находящиеся вне этой системы. Тела, составляющие замкнутую систему, взаимодействуют только друг с другом. Также и силы, действующие внутри консервативной системы, называются консервативными силами.
2. Энергия одно из фундаментальных понятий не только в физике, но и в естествознание вообще, во многих естественнонаучных дисциплинах. В механике рассматриваются только механическая энергия в двух его проявлениях.
Если материальная точка, тело или система тел может выполнять некоторую работу, говорят, что они обладают энергией.
В классической механике выделяют два вида механической энергии – потенциальная и кинетическая.
Кинетическая энергия механической системы, или конкретного тела – это энергия механического движения этой системы, или тела. Исходя из определения работы и законов Ньютона можно вывести формулу кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью v:
T=mv22. (1)
Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел, входящих в эту систему.
Как видно из формулы (1), кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
Кинетическая энергия зависит от системы отсчета, т.к. скорость тела в разных инерциальных системах разная.
Потенциальная механическая энергия системы тел, определяется их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил). Если работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела, то такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (пример, - сила трения).
В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия системы тел зависит от характера силового поля и выражается разными соотношениями. Например, потенциальная энергия тела массой m, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, выражается формулой
Π=mgh. (2)
Высота h отсчитывается от некоторого нулевого уровня, для которого Π0=0. Например, это может быть поверхность Земли.
Потенциальная энергия деформированной пружины можно вывести из определения работы и закона Гука

. Определяется по формуле
Π=kx22, (3)
где x- мера деформации (растяжения или сжатия) пружины; k- жесткость пружины.
Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия:
E=T+Π
т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
3. Следующее важное понятие в классической механике – это импульс (количество движения).
Импульсом называется произведение массы тела на его скорость:
p=mv. (4)
В отличие от кинетической энергии, которая является скалярной величиной, импульс векторная величина, и, как видно из уравнения (4), всегда имеет направление скорости.
4. Следующая величина, закон сохранения которого является предметом данной работы, является момент импульса.
Момент импульса определяется для материальной точки относительно другой точки. В этом случае он представляет собой векторную величину. Момент импульса определяется также относительно оси. В этом же случае – мы имеем скалярную величину.
Моментом импульса (количества движения) материальной точки B относительно неподвижной точки O называется физическая величина L, определяемая векторным произведением:
L=r, p, (5)
где r- радиус – вектор точки B; p=mv- импульс (количество движения) точки B (рис. 1).
По определению векторного произведения, вектор L направлен перпендикулярно плоскости рисунка, от нас (определяется по правилу правого винта).
Модуль момента импульса
L=rpsinα.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, которая равна проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса Lz, как видно из определения, не зависит от положения точки O на оси z. Это объясняется тем, что проекция вектора на неподвижную ось не изменится при параллельном переносе вектора
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri, с некоторой скоростью vi. Скорость vi, и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы
Liz=miviri.
81915-831215B
O
p=mv
r
m
Рис. 1.
К определению момента импульса
относительно точки
α
00B
O
p=mv
r
m
Рис. 1.
К определению момента импульса
относительно точки
α
Направлен вектор момента импульса по оси вращения и определяется его направление правилом правого винта.
3. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его частиц:
Lz=i=1nLiz=i=1nmiviri. 6
2 Законы сохранения в классической механике
1. Закон сохранения механической энергии является результатом обобщения многолетнего опыта и является частным случаем фундаментального закона сохранения и превращения энергии для механических явлений.
В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется
E=T+Π=const.
Это уравнение и представляет собой закон сохранения механической энергии.
В чисто механических процессах в консервативной системе, когда другими видами энергий можно пренебрегать, кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, переходя друг в друга (кинетическая в потенциальную и наоборот). Однако, их сумма всегда остается постоянной.
2. Закон сохранения импульса
Можно доказать, что суммарный импульс консервативной системы из n тел с массами m1,m2,…,mn, и движущимися со скоростями v1, v2,…, vn соответственно сохраняется (не изменяется по времени), т.е.
p=i=1nmivi=const.
Это и есть закон сохранения импульса для консервативной системы тел. Этот закон легко выводится на основе второго закона Ньютона.
Важным следствием из закона сохранения импульса является закон движения центра масс:
mⅆvCⅆt=i=1nFi,
где
m=i=1nmi -
суммарная масса системы; vC- скорость центра масс системы;
i=1nFi-
геометрическая сумма всех сил, действующих на систему.
Это означает, что центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
3. Выведем закон сохранения момента импульса.
Вернемся опять к определению момента импульса твердого тела, а именно формуле (6). Когда тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω (рис