Вычисление дифференциала. Приложение дифференциала к приближеным вычислениям значений функций.

Введение

Одним из важнейших событий в истории математики стало рождение в 17 веке принципиально нового раздела математики - математического анализа. Основой математического анализа служат дифференциальное и интегральное исчисление, которое привело к скачку в развитии многих областей науки и техники. Настоящая работа посвящена изучению понятия такого понятия математического анализа, как дифференциал, а также изучение возможности его применения к вычислению приближенных значений функции в точке.
Цель работы – изучить понятие дифференциала и его приложение к приближенным вычислениям функции.
Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:
рассмотреть понятие дифференцируемости функции и дифференциала;
ввести необходимые и достаточные условия существования дифференциала функции;
выяснить формулу для нахождения дифференциала функции;
исследовать применение дифференциала к приближенного вычислению функции в заданной точке.
Объект: дифференциал функции.
Предмет: приближенные вычисления значения функции в точке с помощью понятия дифференциал.
Структура работы. Реферат состоит из введения, трех параграфов, заключения и списка литературы из 6 наименований. Общий объем курсовой работы – 11 страниц.


§1. Исторические сведения
Понятие дифференциала впервые было введено в 17 веке знаменитым немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Но не стоит умалять, что наряду с ним практически одновременно аналогичная теория была создана Исааком Ньютоном, в другой терминологии.
Возникновение указанного понятия связано с необходимостью решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника. Под воздействием указанного развития науки Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций, что и привело к введению ими таких понятий, как производная и дифференциал функции.
В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов ∆x основные части приращений функций ∆y, то есть они показали, что приращение функции может быть выражено через производную в виде равенства ∆y=y'∆x+o∆x, где o∆x – бесконечно малая величина при ∆x→0.
В отличие от Ньютона, который был скорее физиком, и использовал математический аппарат для решения физических задач, Лейбниц уделял большее внимание именно математике

. Именно последним были предложены общепринятые обозначения дифференциалов функции dy=f'xdx


§2. Понятие дифференциала и его нахождение
Введем определение дифференциала функции через определение дифференцируемости:
Определение 1 [4, с. 109]: Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0∈R, называет дифференцируемой при x=x0, если ее приращение в указанной точке
∆y=fx0+∆x-fx0
может быть представлен в следующем виде
∆y=A∆x+o∆x, ∆x→0
При этом линейная функция A∆x переменной ∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке x=x0. Обозначение: dy=A∆x.
Значение A в записи дифференциала функции при фиксированном значении x=x0 представляет собой некоторое действительное число, которое не зависит от приращения ∆x. Если же переменная x определена в некотором промежутке, то значение A меняется в зависимости от выбопра значения переменной x, то есть дифференциал функции является функцией от двух переменных
dy=A(x)∆x
Рассмотрим теорему, связывающую понятия дифференциала и производной в точке.
Теорема 1 [3, с. 240]: Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке x=x0 необходимо и достаточно чтобы в указанной точке функция имела конечную производную. При этом дифференциал функции будет определяться по следующей формуле
dy=f'x0dx
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то есть имеет место следующее представление для приращения функции
∆y=A∆x+o∆x, ∆x→0
где o∆x - бесконечно малая величина.
Найдем предел отношения этого приращения к приращению аргумента
lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0A∆x+o∆x∆x=A+lim∆x→0o∆x∆x=A
То есть существует конечная производная f'x0 равная числу A.
Из этого же следует, что дифференциал представим в следующем виде
dy=f'x0dx
Достаточность. Предположим, что существует конечная производная f'x0, то есть существует следующий предел
lim∆x→0∆y∆x=f'x0
Следовательно, выполнено следующее равенство
∆y∆x=f'x0+ε∆x∆x
Полагая, что ε∆x=0, при ∆x→0, получим, что в окрестности точки x=x0 будет выполняться следующее равенство
∆y=A∆x+o∆x, ∆x→0
Значит исходная функция дифференцируема в указанной точке.
Теорема доказана.
Из теоремы можно сделать вывод, что значение для A определено однозначно и равно производной в заданной точке, то есть дифференциал функции находится по следующей формуле
dy=f'x0dx
Так как дифференцирование функции напрямую связано с вычислением производных, отличаясь от нее только множителем dx, то его можно легко находить используя таблицу и правила вычисления производных