Трендовые модели прогнозирования.

Введение

Для всестороннего анализа и прогнозирования перспектив развития используются экономико-математические модели, которые различаются целями и принципами построения, способами функционирования и степенью агрегации показателей. В условиях рыночной экономики применение экономико-математических моделей в целях прогнозирования сложных статистических совокупностей становится актуальным, поскольку инструмент, применяемый для анализа, адекватен анализируемому объекту – рыночной экономике. Среди математических методов прогнозирования в особую группу выделяются методы экстраполяции, которые отличаются простотой, наглядностью и легко реализуются средствами современной вычислительной техники.
 Целью настоящего исследование является изучение теоретических основ построения трендовых моделей прогнозирования и их практическое применение при прогнозировании социально-экономических показателей на примере региона РФ.
Объектом исследования – среднегодовая численность постоянного населения Еврейской АО.
Предметом исследования выступают методы экстраполяции трендовых моделей.
Структурно работа состоит из введения, двух параграфов основного текста, заключения и списка использованных источников.
1. Теоретические аспекты построения трендовых моделей прогнозирования
Экстраполяция — это метод, при котором прогнозируемые показатели рассчитываются как продолжение динамического ряда на будущее по выявленной закономерности развития. По сути, экстраполяция является переносом закономерностей и тенденций прошлого на будущее на основе взаимосвязей показателей одного ряда. Метод позволяет найти уровень ряда за его пределами, в будущем. Экстраполяция эффективна для краткосрочных прогнозов, если данные динамического ряда выражены ярко и устойчиво [3, с. 88].
Для анализа динамических рядов применяются различные показатели, которые можно разделить на две группы. К первой группе относятся цепные показатели, которые характеризуют изменение динамики показателя относительно предыдущего уровня. Ко второй, в статистике, относятся показатели, характеризующие изменение по отношению к начальному уровню. Такие показатели называются базисными.
Среди важнейших показателей динамики следует выделить следующие: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.
Приведем формулы по ним более подробно.
Абсолютный прирост [2, с. 118]:
а) цепной: ;
б) базисный: ,
где – база; – текущее значение динамического ряда.
Темп роста:
а) цепной:
б) базисный:
Темп прироста:
а) цепной: или
б) базисный: или
Также для характеристики всего динамического ряда применяются следующие средние показатели:
1) Средний абсолютный прирост:
где – число уровней ряда динамики.
2) Средний темп роста:
где – база; – последнее значение ряда; n – число уровней.
3) Средний темп прироста:
Модель тренда может различаться по виду: может быть линейной, степенной (экспоненциальной), логарифмической, параболической, логистической (рис. 1.1).
Линейная
Y=a+bx
112395-1206500


Логарифмическая
533408191500Y=a+blgx

12636524130000Экспоненциальная (степенная) Y=ax

Параболическая
Y=a+bx+cx2
11430013335000


Логистическая
20256530734000
Гиперболическая
10033031178500

Рис. 1.1. Модели экстраполяции трендов [1, с. 95]
На основании скользящей средней можно проследить тенденцию развития динамического ряда. Для этого выделяют интервалы сглаживания и вычисляют среднее в каждом интервале.
Формулы расчета скользящей средней имеют вид [4, с. 74]:
а) для интервала сглаживания 3:
,
б) для интервала сглаживания 5:
,
в) для интервала сглаживания 4:
.
Прогноз по скользящей средней происходит по формуле:
= + ,
где t + 1 – прогнозный период;
t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.);
yt+1 – прогнозируемый показатель;
– скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания;
yt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период;
yt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.
Также для прогнозирования широко применяется метод экстраполяции, основанный на построении временного тренда.
В общем виде уравнение тренда имеет вид:

где t - время; а – средний уровень ряда в нулевой момент

. Параметр b представляет собой среднюю абсолютную скорость динамики.
Параметры трендовых уравнений находят, решая следующую систему линейных уравнений[3, с. 161]:
,
.
Систему уравнений можно упростить до вида:
,
.
Для этого, необходимо выбрать такую систему отсчета времени, при которой . Решение упрощенной системы:
.
После построения тренда его адекватность проверяется при помощи средней ошибки аппроксимации:

При ошибке меньше 12% экстраполяция по тренду признается точной и может использоваться при прогнозировании.
Задача ППЭ состоит в определении вида экстраполирующих функций Хt и t на основе исходных эмпирических данных и параметров выбранной функции.
Методика построения трендовых моделей представляет сочетание качественного экономического анализа и формальных математико-статистических методов и включает несколько этапов:
1) Выбор класса функции тренда. Существует более 40 временных функций, отличающихся своими свойствами. Надо выбрать ту, которая отражает главные особенности динамики исследуемого показателя, прежде всего тип развития. Можно выделить 4 типа экономического роста: постоянный, увеличивающийся, уменьшающийся и рост с качественными изменениями характеристик на протяжении рассматриваемого периода.
2) Оценка параметров функции. Он проводится методами регрессионного анализа.
3) Расчет значений формальных критериев аппроксимации. Для характеристики близости тренда к аппроксимируемому динамическому ряду применяют несколько формальных критериев: сумма квадратов отклонений значений тренда от фактических значений, значение коэффициента детерминации и т.д.
4) Анализ остаточной компоненты динамического ряда.
5) Выбор функции тренда. Результатом предшествующих этапов является построение нескольких функций тренда для одного показателя. Выбор лучшей осуществляется путем сопоставления значений, возможностей экономической интерпретации и использования в прогнозировании.

2. Практическое построение и прогнозирование по трендовым моделям
Объект анализа – численность постоянного населения Еврейской АО, среднегодовая динамика которой представлена в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Динамика постоянного населения Еврейской АО, в среднем за год
Год Численность постоянного населения в среднем за год, чел.
2012 173542
2013 171524
2014 169373
2015 167244
2016 165169
2017 163116
2018 160964
Источник: https://showdata.gks.ru/report/278930/?filter_1_0=2012-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2013-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2014-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2015-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2016-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2017-01-01+00%3A00%3A00%7C-52%2C2018-01-01+00%3A00%3A00%7C-52&filter_2_0=127937&filter_3_0=13439&rp_submit=t
Представим вычисления основных показателей динамики в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Цепные и базисные индикаторы динамики среднегодовой численности населения Еврейской АО за 2012 – 2018 гг.
Год 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Среднегодовая численность постоянного населения, у, чел. 173542 171524 169373 167244 165169 163116 160964
Значение абсолютного прироста, чел. цеп, - -2018 2.226 2.012 3.401 3.631 4.346

баз, - -2018 18.463 20.475 23.876 27.508 31.853
Значение темпа роста, % цеп, - 98.84% 98.75% 98.74% 98.76% 98.76% 98.68%

баз, - 98.84% 97.60% 96.37% 95.18% 93.99% 92.75%
Значение темпа прироста, % цеп, - -1.16% -1.25% -1.26% -1.24% -1.24% -1.32%

баз, - -1.16% -2.40% -3.63% -4.82% -6.01% -7.25%
Абсолютное значение 1% прироста     1735.42 1715.24 1693.73 1672.44 1651.69 1631.16
Рассчитаем средние показатели динамики.
1