Системы счислений в информатике

Введение
В современном мире ежедневно совершается огромное множество числовых операций с данными, которые могут быть представлены по – разному, например, в магазине при покупке продуктов, при работе за компьютером. Числа представляются в различных системах счисления в зависимости от необходимых операций, например, компьютер выполняет машинные команды в двоичном коде, а человеку легче воспринимается информация в десятичном. Что вообще из себя представляют системы счисления и для чего они необходимы?
Система счисления представляет собой определенный алгоритм записи чисел. Основанием системы счисления называют число возможных допустимых символов, которых она может использовать. Например, восьмеричная система счисления имеет основание 8, так как имеет 8 различных вариантов допустимых символов (от 0 до 7). При представлении числа в определенной системе счисления в после записи самого числа обычно записывают основание этой системы. Например, число 101011002 представлено в двоичной системе счисления, об этом свидетельствует 2 в конце его записи. Разрядом системы счисления считается позиция цифры в числе. Разрядностью числа называют количество цифр из которых состоит число, например, 742 и 219 – трехразрядные числа, а 10101 и 01011 – пятиразрядные. Нумерация разрядов происходит справа на лево, в числе 201 первым разрядом будет единица, а двойка – третьим.
Теперь рассмотрим возникновение систем счисления с исторической точки зрения. В глубокой древности 5 тысяч лет назад люди имели простейшее представление о числах и выполнении арифметических операций. Тогда само понятие числа отсутствовало и люди пользовались предметами, чтобы вести подсчет. Позже с развитием письменности стали появляться первые принципы записи чисел, которые во многом отличались от тех, которые существуют в наши дни, а также появилась величина – единица измерения, то есть минимальное значение для подсчета. Например, единица в десятичной системе счисления. Когда людям возникла необходимость проводить более точные вычисления появились дробные числа. В дальнейшем развитием систем счисления и развитием различных числовых операций стала заниматься такая наука как математика.
Теоретическая часть
Системы счисления разделяются между собой на две большие группы – позиционные и непозиционные. Разберем детально каждую из них.
Позиционные системы счисления.
Позиционная система счисления представляет собой такую систему счисления, у которой значение любой цифры в числе зависит от ее положения в ряду цифр, изображающих это число. В таких системах счисления каждая цифра в записи числа зависит от ее позиции, например, 25 и 52, оба числа имеют одинаковые цифры, которые находятся на разных позициях.
Позиционные системы счисления более распространены в современном мире. В этих системах счисления числа записываются так, что каждый следующий разряд больше другого на степень основания системы счисления, т. е. происходит движение справа налево.
Преимуществом позиционной системы счисления является простота выполнения арифметических операций, при записи числа используется небольшое число символов. Такие системы удобны и экономичны, как для представления чисел на бумажных носителей, так и для механического представления чисел. Простейшим примером такого являются счеты. В них каждому разряду соответствует металлический стержень, который может принимать определенные позиции. Более сложным примером являются перфокарты – специальные карточки, размеченные рядом цифр, которые при записи программ пробивались в определенных позициях, то есть кодировались. Одна машинная программа обычно состояла из десятков и сотен таких перфокарт.
Примерами позиционных систем счисления являются такие системы как двоичная, троичная, четверичная, восьмеричная, десятичная, двенадцатиричная, шестнадцатиричная, двадцатиричная, cорокаичная, шестидесятиричная. Разберем каждую из них.
Двоичная система счисления.
Такая система счисления содержит всего 2 цифры – 0 и 1. Основанием такой системы счисления является 2. Двоичная система счисления используется при кодировании информации и выполнения машинных команд на компьютере. Является одной из первых появившихся систем счисления. Полинезийские и австралийские племена широко использовали ее в быту. Например, полинезийцы использовали два удара по барабану, один звонкий, другой глухой, что соответствует 0 и 1 в современной двоичной системе счисления. Пример числа в двоичной системе счисления: 01101010.
Чтобы представить десятичное число в двоичном представлении используется следующий алгоритм. Целое десятичное число делят на 2 до тех пор, пока оно не станет меньше единицы, то есть когда целая часть будет равна 0. В результате промежуточных делений на каждом этапе вычисляется остаток (он будет либо 0 либо 1). Из этих остатков формируется двоичное число, начиная с конца деления, то есть первый разряд двоичного числа будет соответствовать последнему остатку от деления на 2. Например возьмем число 2010 = 101002
20/2 = 10 (0) 10/2 = 5 (0)5/2=2 (1)2/2=1 (0)1/2 =0 (1)
Троичная система счисления.
Данная система счисления была предложена математиком Леонардо Фиббоначи. В такой системе возможны 3 цифры: 0, 1 и 2. Такая система позиционируется как нессиметричная. Процесс в троичной системе счисления более сложный, по сравнению с двоичной, но такая система считается более ёмкой. Примером использования троичной системы может быть игра морской бой, где по горизонтали пишутся буквенные символы, а по вертикале – цифры. Для составления сетки для операции сложения – вычитания возможно по следующему принципу: нужно построить четыре столбца, в каждом из них будет записана последовательная цепочка цифр. Представим нижний столбец по горизонтали как 0, 00, 01, 02. Второй как 1, 01, 02, 10, а третий столбец как 2, 02, 10, 11. Таблица может быть расширена если есть необходимость в числах других разрядов.
Восьмеричная система счисления
Эта система счисления имеет 8 допустимых цифр (0 – 7) и имеет основание 8

. Каждой из цифр в восьмеричной системе счисления соответствует 3 двоичных цифры. Такое двоичное представление называется триадой.
0 – 000 1 – 0012 – 0103 - 0114 – 100
5 – 101 6 – 110 7 - 111
Чтобы представить восьмеричное число в двоичном представлении достаточно разбить его на триады. Например, 4528 = 1001010102.
Чтобы представить восьмеричное число используется следующий алгоритм. Каждый разряд восьмеричного числа преобразуется. Значения каждого разряда умножается на основание системы счисления – 8 в определенной степени. Степень первого (самого правого разряда равна нулю). По мере сдвига разряда степень увеличивается на единицу. После этих преобразований вычисляется сумма всех разрядов. В результате получаем число в десятичном представлении. Приведем пример:
7258 = 7 * 82 + 2 * 81 + 5 * 80 = 46910
Восьмеричную систему счисления используют в областях, связанных с цифровыми устройствами. Также ее используют в linux – системах для задания прав доступа к файлам и каталогам.
Десятичная система счисления
Первая позиционная десятичная система появилась в Индии в 595 году. При записи числа отдельно помечали позиции символов, т.е. его разряды, пустые разряды помечали нулями.
Данная система является самой популярной и удобная системой счисления в современном мире. В ней используются арабские цифры от 0 до 9, она имеет основание 10, которое связано с количеством пальцев на руке у человека. Один десятичный разряд называется декадой. В цифровой электронике одной декаде соответствует один десятичный триггер.
Двенадцатиричная система счисления
Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Она появилась исходя из числа фаланг пальцев руки, исключая большой. Фаланги пальцев использовались как счеты, вместо загибания пальцев текущее состояний счета засекалось большим пальцем. Также в древности часто использовался счет дюжинами, а не десятками. В современном мире эту систему используют некоторые народы Тибета и Нигерии.
Двенадцатиричная система счисления содержит цифры от 0 до 9, а также латинские буквы А и B. Двенадцатиричная система имеет ряд преимуществ над десятичной, во - первых, её запись является более компактной, а во-вторых, она имеет четыре делителя (2, 3, 4, 6), в то время как у десятичной всего 2 (2 и 5).
Шестнадцатиричная система счисления. Данная система счисления широко используется в компьютерной документации (система IBM/360) и низкоуровневом программировании, например, ассемблерный код и значения системных регистров. В компьютерах, единицы информации – байты, удобно записывать двумя шестнадцатиричными цифрами. Также данная система используется в стандарте Юникода.
Система имеет 16 допустимых символов, арабские цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Шестнадцатеричные цифры легко представить в виде двоичных. Одна шестнадцатеричная цифра представляется четырьмя двоичными, образуя тетраду.
Другие позиционные системы счисления.
Двадцатеричная
Используется для записи чисел майя и ацтеков, а также некоторых кавказских и азиатских языках.
Шестидесятиричная
Система создана шумерами в 3 тысячелетии до нашей эры., использовалась в древние времена на Ближнем Востоке.
Первый шестнадцатеричный знак после запятой называется минута, второй – секунда, третий – терция, четвертый – кварта и т.д. Частей традиционно берется по 60.
Использовалась в Древнем Вавилоне, а затем астрономами для измерения угловых координат звезд (широты и долготы). В современном мире используется при измерении времени суток, а также в технических науках (радиан).
Непозиционные системы счисления
В таких системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от ее положения в числе. Эти системы могут накладывать ограничения на расстановку цифр, например, расположение цифр строго по возрастанию.
Непозиционными системами счисления являются такие системы как: единичная, пятиричная, древнеегипетская, вавилонская, греческая, римская, еврейская. Рассмотрим каждую из них.
Единичная система счисления
Данная система счисления является самой первой из всех систем счисления. В единичной системе счисления число представляет собой строку из черточек, количество которых будет являться значению данного числа. Например, 5 ложкам будет соответствовать значение 5 черточек. Несмотря на то, что такая система является очень простой, она имеет свои недостатки. Например, неудобство подсчета больших значений, ведь чем больше число, тем длиннее строка из черточек. Также существует большой шанс пропустить одну или несколько черточек их - за невнимательности.
Древнеегипетская десятичная система счисления
В Древнем Египте использовались свои символы для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Рассмотрим примеры таких символов.
Египетская система счисления является десятичной. Египтяне определяли представление числа как 10 в определенной степени, т.е. 100 = 1, 101 = 10 и т.д. Числа в этой системе счисления записывались в виде таких значений, которые могли повторяться не более 9 раз. Результатом являлась сумма элементов такого числа. Данный метод представления чисел свойственен непозиционным системам счисления. Например, число 345 в древнеегипетской системе счисления записывается так:
Вавилонская система счисления
Жители Вавилона использовали шестидесятеричную непозиционную систему счисления. В этой системе использовались всего 2 символа – прямой клин для единиц и лежачий клин для десятков. Для представления числа в такой системе счисления его разряды разбиваются справа налево. Каждый новый разряд начинается с прямого клина после лежачего. Число 60 представлялось прямым клином, как и единица, поэтому данная система является шестидесятеричной. Значения от 1 до 59 записывались в десятичной непозиционной системе счисления, а значения больше 59 – в позиционной с основанием 60. Например, число 92 будет записываться в такой системе счисления следующим образом:
Римская система счисления
Данная система счисления похожа на древнеегипетскую