"Прямая пропорциональность" в школьном курсе математики

Введение

Перед учителем математики стоит задача не только дать ученикам прочные знания и навыки по основам наук, но и развить их мышление, заинтересовать изучением математики, активизировать их познавательную деятельность, приучить работать самостоятельно, чтобы после окончания школы они могли самостоятельно повышать свою квалификацию в будущей трудовой деятельности.
В связи с этим современная педагогика, психология и методология математики направляют заметные усилия на то, чтобы выявить возможности ученика, расширить и максимально использовать их для развития личности.
Не случайно в последние десятилетия постоянное совершенствование методов, средств и форм организации обучения математике, прежде всего отыскание путей повышения эффективности урока по математике, стало предметом особого внимания со стороны школы, учителя, педагогической и психологической наук.
Задача повышения эффективности уроков математики требует от учителя глубокого знакомства с методами, средствами и формами обучения, как традиционными, выработанными вековым опытом учителей и методистов, так и теми, которые возникли и вошли в школьные практики относительно недавно. Умелое владение арсеналом педагогического опыта позволит творчески использовать существующие пути повышения эффективности уроков математики.
К примеру, использование наглядности в процессе обучения математике способствует умственному развитию учащихся, помогает выявить связь между научными знаниями и жизненной практикой, облегчает процесс усвоения способствует развитию интереса к знаниям, стимулирует развитие мотивационной сферы учащихся [1]. При изучении темы «Линейная функция» этот прием может быть особенно актуальным.
Целью данной работы является рассмотрение методических принципов изучения линейной функции и знакомства с ее графиком в рамках школьной программы. Для этого реализуются следующие задачи:
1. Рассмотрение истории развития изучения линейной функции
2. Пропедевтика понятия функции, и в частности, линейной функции в младшей школе
3. Знакомство учащихся с понятием линейной функции и ее графика, решение задач с использованием представлений о линейной функции
4. Развитие представлений учащихся о линейной функции в старших классах

1. История изучения понятия «линейная функция» в школе
Понятие функции, как одно из фундаментальных понятий современной математики, непосредственно связано с понятием действительности. В нем ярко отражена динамичность современного мира, взаимно обусловленность объектов и явлений. Именно в понятии функции реально отражены многие стороны и явления реального мира. В процессе эволюции математики как науки, понятие функции подвергалось изменениям.
Это понятие было введено в математике конце XVII в. ВпервыеРене Декарт исследовал, как меняется ордината точки в зависимости от изменения ее абсциссы. Но при этом он не употреблял термина - "функция". Этот терминна основе латинского "functio" (что означает "осуществления") ввел в 1964 году Лейбниц. Функцией он называл отрезок, длина которого меняется по определенному правилу. Математики ХVIIIв. функцией переменной величины называли аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных. Эйлер под функцией понимал любой аналитическое выражение.
В XIX в. понятие функции еще более расширилось после того, как стали считать, что функцию можно задавать не только аналитическим выражением. Со времен Лобачевского и Дерехле в математике закрепилось новое представление функции как зависимости одной переменной от другой. Такой подход достаточно долгое время сохранялся и в школьном курсе математики.
В настоящее время существует несколько вариантов трактовки понятия функции, в частности понятие функции может выступать как первоначальное неопределяемое понятия. При другом подходе - первоначальным неопределяемым понятием считается отображения, а под функцией понимают отображения одной части множества на другую.
Понятие функции можно трактовать как отношение множеств. Функция может быть определена как соответствие множеств и как зависимость одного множества от другого. В школьную программу по математике понятие функции включены относительно недавно. Существенное влияние на этот шаг в усовершенствованнии математического образования оказали идеи известного педагога-математика В. Клейна, который был убежден в ведущей роли этого понятия в науке математике и обучении математике.
Идея единственности математической науки, которая составляла основное ядро исследований Н. Бурбаки, была подчеркнута еще Ф. Клейном, который считал, что понятие функции должно основную роль в курсе математики средней школы, и что это понятие должно быть осознано учащимися. С точки зрения Клейна, любое научное знание не может быть усвоенное учащимися без обращения к наглядности, поэтому трактовка понятия функции с помощью материальных образов является наиболее целесообразной.
В 80-90-х годах ХХ в. школьный курс математики был построен на основе теоретико-множественной системы, что позволяло широко трактовать все основные математические понятия, в том числе и понятие функции. Кроме того, теоретико-множественный подход давал возможность преподавать его на достаточно высоком уровне строгости.
Дискуссия о том, вводить или не вводить понятие функции в программу средней школы продолжалась много десятков лет. Еще в XIX в. Остроградский и некоторые другие математики и методисты предлагали расширить школьный курс математики изучением элементов функциональной зависимости, но реализовывались эти позиции достаточно медленно. Достаточно сказать, что в первой части "алгебры" Киселева, которой пользовались ученики 40 лет назад, о функции и не упоминалось.
В настоящее время понятие функции в школьном курсе математики вводят в конце 7-го класса. Но целесообразно уже в 5-7 классах проводить функциональную пропедевтику. С этой целью следует объяснять ученикам, как меняется сумма от перемены слагаемых, как изменяется значение дроби от изменения его членов, как изменяется площадь прямоугольника от изменения его сторон, а также ознакомить учащихся с простейшими таблицами, диаграммами, чтобы позже можно было перейти к графиков.
С этой точки зрения линейная функция является самой наглядной, самой практичной для освоения учениками.
Соответственно, именно с нее начинается изучение функций в общей школе.

2. Методические основы изучения линейной функции
2.1. Представление о функциях в младших классах
Понятие функциональной зависимости является одним из центральных в математике, изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом школьного курса. Начиная с 7 класса средней школы, идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем более сложные функции.
Функциональная пропедевтика начинается в начальной школе при рассмотрении зависимости изменения суммы при изменении слагаемых, зависимость изменения произведения от изменения множителей, зависимость изменения доли от изменения делимого и делителя.
В 5 классе в теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» учащиеся знакомятся с величинами, зависимостями между величинами, прямой и обратной пропорциональности. А также с составлением и расчетом числовых выражений, буквенные выражения и их числовые значения, составление таблиц значений выражений.
В 6 классе в теме «Числа и действия над ними» изучают графические иллюстрации процентного отношения. В теме «Отношения и пропорции» вводится понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости. В этом же классе ученики знакомятся с прямоугольной системой координат, координатами точки, абсциссами, с координатными плоскостями и координатными четвертями.
Основная цель функциональной пропедевтики в младших классах заключается в формировании у учащихся понятия переменной величины и зависимости между этими величинами.
2.2.Введение

понятия функции
Понятие функции формируются у учащихся при:
- введении функциональной пропедевтики;
- элементарном исследованию отдельных функций;
- исследовании функций с помощью производной.
В 7-9 классах предусмотрено систематизированное изучение функций, их свойств и графиков.
Выяснение понятия функции осуществляется на основе рассмотрения знакомых ученикам примеров физических и геометрических зависимостей, причем обращается внимание на способы задания этих зависимостей - формулой, таблицей, графиком. Заметим, что в 8 классе способы задания функций не выделяются как отдельный пункт для специального изучения. Объясняется только, что задать функцию - это значит указать способ, который позволяет для любого значения аргумента найти соответствующее значение функции.
Вводить понятие функции целесообразно процессе решения задач. К примеру:
1. Покупают карандаши цене по 30 копеек за штуку. Записать зависимость между количеством карандашей х и их общей стоимости y.
2. Записать зависимость между длиной ребра куба a и его объемом V.
3. Автомобиль движется равномерно на прямолинейном участке длиной 1300 метров. Записать зависимость между скоростью автомобиляхυ м / с и временем t с, затраченным на прохождение этого участка.
Решая эти задачи, ученики получают различные функциональные зависимости: у = 30х; V = х·3.
Учитель может подчеркнуть, что по формулам, которые получили ученики, для каждого значения х можно найти соответствующее значение результата, после чего учащиеся выполняют вычисления для нескольких значений х.
Необходимо отметить, что х и у - переменные, при этом вводятся понятия независимых и зависимых переменных

. Главное - добиться осознания учащимися того, что о функции можно говорить только тогда, когда каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Значительное внимание надо уделить усвоеннию учащимися терминологии, связанной с понятием функции: х - независимая переменная, или аргумент, у - зависимая переменная; у является функцией от х; х - значение функции.
Большое внимание следует уделить формированию представлений о графике функции. В 6 классе учащиеся уже получили начальные представления о графике. Приступая к изучению графиков функций нужно актуализировать необходимый минимум знаний о координатной плоскости.
В результате изучения графиков функций необходимо добиваться, чтобы ученики умели объяснить, что такое график функции, и умели с помощью графиков функций решать такие два типа задач:
1) для каждого значения аргумента найти соответствующее значение функции;
2) по данным значениям функций находить значение аргумента, которым оно отвечает.
Умение читать графики функций производятся у учащихся в результате выполнения таких упражнений:
Формула → таблица → график
График → таблица → формула

2.3. Методические особенности изучения линейной функции в основной школе.
2.3.1. Общая методическая схема изучения линейной функции
Можно привести такую схему изучения линейной функции
I. Этап мотивации. Рассматриваются примеры зависимостей, которые приводят к определенному виду функций.
II. Формулируется определение функции, вводится.
III. Построение по точкам графика функции, определение по ним свойств функций. В старших классах отдельные свойства приходятся аналитически.
IV. Применение свойств изученной функции к решению уравнений, неравенств, задач.
Следует отметить, что учащиеся должны четко понимать, что линейная функция относится к классу функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества действительных чисел. В результате изучения этой темы учащиеся должны:
- Понимать, что линейная функция - это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами;
- Правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, рост и др.) - находить значения функции, заданных формулой, таблицей, графиком;
- Находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения
- Строить графики линейной функции.

2.3.2.Введение

понятия линейной функции
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа. Такое определение дано в учебниках, и обычно только после этого в следующем параграфе дается определение прямой пропорциональности.
Необходимо обращаться внимание учащихся на то, что пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула у = k· хвыражается из формулы y = kx + b при b = 0 и для того, чтобы построить график прямой пропорциональности достаточно отметить любую точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.Традиционно целый параграф в учебниках отводится на изучение взаимного расположения графиков линейных функций. Графики двух линейных функций, заданных формулами вида y = kx + b, пересекаются, если коэффициенты при х разные, и параллельные, если коэффициенты при х одинаковы.
При изучении линейной функции ученики должны знать:
1) определение линейной функции;
2) зависимость от коэффициента k угла наклона прямой y = kx + b, к оси абсцисс;
3) что при одном и том же значению kпрямые параллельные;
4) что, когда k> 0, то угол наклона прямой к оси Ох острый, а если k<0 - тупой;
5) что b - ордината точки пересечения графика функции с осью ординат.
Уметь: по графику линейной функции находить k и b.
Линейная функция одна из видов функций, чаще всего встречается на практике. По закону линейной функции происходит, например, линейное расширение тел при нагревании, в линейной зависимости от времени находится скорость ривнозминного движения.
Классическим примером применения функции y = kx + bв экономике зависимость общих издержек производства от объема выпущенной продукции.
В курсе математики старших классов понятие линейной функции развивается и расширяется в сочетании с развязыванием уравнений вида f (x) = kx + b, их систем, уравнение касательной к кривой и рядом других вопросов.
Перед формальным определением линейной функции можно рассмотреть две практические задачи. В первой из них устанавливается зависимость от начала отсчета расстояния пройденного телом при равномерном движении, от времени движения.
Пример 1. На шоссе размещены пункты А и В, расстояние между которыми 20 км. Мотоциклист выехал из пункта Вв направлении, противоположном А, со скоростью 50 км / ч. Через t ч. мотоциклист проедет 50t км и будет от А на расстоянии 50t + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста от пункта А, то зависимость расстояния от времени движения можно выразить формулой s = 50t + 20.
Во второй задачи устанавливается зависимость стоимости покупки от количества.
Пример 2. Ученик купил тетради по 3 к. За штуку и ручку за 35 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки - буквой у (в копейках). Получим у = 3х + 35, где х - натуральное число. [2]
Получив формулы s = 50t + 20 и у = 3х + 35, где х - натуральное число, ученики должны осознать, что общего в них и чем они отличаются, а также, что каждая из этих формул задает функцию.
Изучение линейной функции необходимо начать с рассмотрения конкретных ситуаций или задач, которые приводят к данной функции. На этом этапе учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции.
Пример 3. Из курса физики известно, что если стальная проволока длиной 1 м нагревается до температуры t0, а коэффициент его линейного расширения равен k = 0,0012, то длина провода при этой температуре может исчисляться по формуле: l(t) = l + 0.0012t .
Пример 4. Если тело движется равномерно со скоростью v км/ч и в момент начала отсчета времени движения находится на расстоянии S0 от начального пункта, то уравнение движения тела может быть записано формуле: S(t) = S0 + vt.
Далее рекомендуется сказать ученикам: «Эти зависимости являются функциями и они имеют одинаковую структуру. Поэтому, если независимую переменную обозначить через x, а зависимую - через y, то получим функцию вида: y = kx + b. Эти функции называют линейными ».
После этого следует сформулировать определение линейной функции и попросить учеников записать его: «Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида: y = kx + b, где x - аргумент, а k и b - данные числа». На следующем этапе нужно ознакомить учащихся с графиком линейной функции. На этом этапе ученики должны научиться изображать линейную функцию графически, отличать по графику данную функцию от других.
После этого следует сделать следующее замечание: «Графиком каждой линейной функции является прямая и каждая прямая на координатной плоскости, а не перпендикулярна оси абсцисс - график некоторой линейной функции».
После того как ученики поймут, что графиком каждой линейной функции является прямая, нужно рационализировать построение таких графиков: «Чтобы построить прямую, достаточно определить только две ее точки, а уже потом с помощью линейки провести через них прямую».
Перед рассмотрением свойств линейной функции следует рассмотреть отдельные ее случаи:
«Если k= 0, то функция y = kx + bимеет вид y = b. График такой функции прямая, параллельная оси x.
Если b = 0, k 0, то линейная функция имеет вид y = kx. Такую функцию называют прямой пропорциональности, поскольку любые значения такой функции пропорциональны соответствующим значением аргумента, а графику такой функции является прямая, проходящая через начало координат ».
Далее следует рассмотреть с учениками свойства линейной функции. Начать следует из области определения функции: «Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел». Среди всех возможных значений аргумента найдется такое значение, при котором значение функции будет равно 0. Для отыскания этого значения аргумента достаточно решить уравнение: kx + b =0, откуда x = -b/k (k 0).
Значение аргумента, при котором значение функции равно 0 называют «нулем» функции. При других значениях аргумента функция принимает положительные или отрицательные значения. Для того чтобы найти промежутки, где функция принимает значение одного и того же знака необходимо решить неравенства:
kx + b>0 (x> -b/k, еслиk>0) или (x< -b/k, еслиk<0);
kx + b<0 (x< -b/k, еслиk>0) или (x> -b/k, еслиk<0);
Промежутки значений аргумента, на которых значение функции только положительные или только отрицательные, называют промежутками знакопостоянства функции.
Далее следует рассмотреть промежутки монотонности линейной функции: «Нетрудно убедиться в том, что для линейной функции:
1) при k >0 функция возрастает для всех x из области ее определения;
2) при k <0 функция убывает для всех x из ее области определения;
3) при k = 0 функция постоянна»