Проблемма сравнения узлов

Введение

Теория узлов появилась на свет благодаря исследованиям популярного ученого физика Дж. Максвелла. Данной теорией также интересовались и математики в 20 веке. Главным интересом послужила красота предмета исследования, а также решение одного очень важного вопроса: какие узлы можно развязывать, не порвав, а какие нельзя.
Теория узлов известна еще с самых древних времен. На сегодняшний день узлы применяются в качестве аксессуаров, как элементы отделки. Более того они также играют значительную роль в таких отраслях как рыболовство, морское дело, строительство и мн.др. Поэтому данная тема актуальна на сегодняшний день.
Узел – предмет наглядный и простой. Каждый человек встречается с ним в повседневной жизни и даже не подозревает, что узел – это еще и математический объект. Отметим, что данная теория исследований достаточно популярна на сегодняшний день, о чем свидетельствует тот факт, что за время разработок были получены 4 медали Филдса.
Целью данной работы является обобщение и систематизация основных понятий теории узлов, обзор подходов проблем сравнения узлов.
Теорию узлов сегодня пытаются использовать в различных исследованиях и сферах науки: в генетике в связи с зацеплением нитей молекул ДНК, в гидродинамике в связи с изучением устойчивых вихрей, образующих узлы, в ферромагнетизме, где возникают заузленные потоки магнитных полей. Таким образом, эта математическая теория способствует возникновению новых направлений в нематематических науках.


Основные понятия теории узлов

Математический узел представляет собой тонкую нить, концы которой либо зафиксированы (рис.1), либо соединены (рис.2) .


Рис. 1 Узел с зафиксированными концами

Рис. 2 Узел, с соединенными концами
Существуют два основных вида узлов: тривиальный (т.е. закрепленный) и нетривиальный (т.е. не закрепленный).
У нетривиального узла есть свои виды, одними из которых являются трилистник (рис.3) и восьмерка (рис.4).

Рис. 3 Трилистник

Рис. 4 Восьмерка

Для распутывания узлов применяются различные теории. Одной из которых является операция Рейдемейстера.
Его теория звучит следующим образом: два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другого можно перейти с помощью конечного числа операций

. Эта теорема сводиться к более простой «плоской» задаче о превращении одной диаграммы узла в другую с помощью трех известных операций (раскручивание, соскальзывание одной ветви с другой и налезание одной ветви на другую, переброс ветви через двойную точку). Все эти операции приводят к уменьшению двойных точек, а, значит, уменьшают число двойных точек.


Типы узлов

Узлы также можно классифицировать на изотопные, зеркальные и эквивалентные. Приведем определение каждого.
Говорят, что два узла изотопны, или имеют один изотопический тип, если один узел можно «перевязать» в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.
Практически изотопность двух узлов можно иногда доказывать либо с помощью веревочного кольца, либо на серии рисунков – диаграмм.
Говорят, что два узла эквивалентны, или имеют одинаковый тип, если они изотопны или если один из них изотопен зеркальному изображению второго.
Согласно этому определению, всякий узел эквивалентен своему зеркальному образу.
Узлы, которые изотопны своему зеркальному изображениею называют зеркальными. Существуют также и не зеркальные узлы. В 1914 году немецкий математик Ден, один из основоположников теории узлов, доказал не зеркальность клеверного листа (рис. 5).


Рис. 5 Узлы перед зеркалом
Иными словами, эквивалентные узлы не всегда изотопны (изотопные же эквивалентны по определению). Хотя сквер-узел и бабушкин узел очень похожи (рис. 6, а,б), но они не только неизотопны, но и не эквивалентны.

(а) (б)
Рис. 6 Сквер-узел и бабушкин узел

Строгое доказательство данного утверждения довольно трудоемкое. Но при этом причина их не эквивалентности очевидна: она состоит в не зеркальности клеверного листа.


Обзор подходов проблемы сравнения узлов

Вопрос о возможности сравнения узлов интересует математиков еще с конца XIX века. Основы математической теории узлов сформировались в начале XX века в работах Дж