Принципы оптимального управления

Введение

Актуальность работы обусловлена тем, что вопросами изучения оптимального управления организацией в современных условиях развития общества занимается множество ученых на сегодняшний день.
Современной теории и практике оптимального управления посвящены исследования широкого круга ученых, таких как Мильор Р. Г., Веснин В. Р., Алехина О. Ф., Кибанов А. Я.. Зарубежный опыт современного управления анализируется в трудах Шиверской М. Р., Попова А. В., Коно Т., Губенко М.. Тем не менее необходимым является поиск перспективных концептуальных подходов к улучшению управления, которые способствовали бы ликвидации стереотипов в управлении и мышлении


1.Понятие и принципы оптимального управления

Под оптимальным управлением понимается применение такого управляющего воздействия xY(t), которое обеспечивает достижение наилучшего значения какого-либо заранее обусловленного показателя качества управления объектом. Чаще всего такими показателями бывают быстродействие (время, затрачиваемое на перевод объекта в заданное состояние, являющееся целью управления), минимум энергетических затрат (суммарной энергии, затрачиваемой управляющим устройством на перевод объекта в заданное состояние) или минимальная погрешность воспроизведения следящей системой заданного сигнала при наличии мешающих возмущений (помех)
Оптимальное управление строится на ряде принципов, среди которых:
1.рациональность
2.комплексный охват
3.целевая направленность и т.д.
В соответствии с этим принципом управление должно быть наилучшим. Можно выделить два типа задач оптимального управления:
· оптимизация конечного состояния объекта управления. Исследуется и оптимизируется конечное состояние объекта, каким "путем" объект пришел в это состояние не учитывается. Задачи этого типа получили распространение в системах организационного и социально – экономического управления. Например, задача планирования выпуска продукции. Решаются такие задачи с использованием методов математического программирования (метода исследования операций).
· оптимизация динамики (переходного процесса) состояния объекта управления. Рассматривается траектория переходного процесса, а конечный результат не представляет интереса. Эти задачи наиболее применимы в технике и при управлении технологическими процессами. Решаются они на основе вариационного исчисления, таких методов, как принцип максимума Понтрягина, Беллмана и др.

2.Применение принципов оптимального управления в решении производственных задач

Существует большое количество задач, в которых нужно найти условный экстремум

. Они получаются при появлении в теореме Ферма дополнительных условий или ограничений. Принцип оптимальности Лагранжа является развитием задачи нахождения условного и безусловного экстремумов, в которой отыскивается вид оптимальной функции управления. Пусть в рассматриваемой системе функция u(t) характеризует управляющий сигнал от времени, y(t) – выходной сигнал системы, характеризующий в определенном смысле ее траекторию. Пусть критерий оптимальности имеет вид
(1)

Формула (1) характеризует тенденцию к минимизации энергетических затрат наведения при управлении объектом по времени от t0 до tk. Требуется определить такие значения u(t), y(t), которые при подстановке в интеграл (1) дадут минимальное значение функции I(u(t), y(t)).
В задаче заданы два ограничения или дополнительные условия конечных состояний системы
(2)
В такой задаче нельзя ограничиваться конечным состоянием функций (2). Так как определяется вид оптимальной функции, то необходимо задать ограничения на скорость изменения функций рассматриваемого функционала. Таким образом, задаются ограничения по скорости изменения функций в виде дифференциальных уравнений.

(3)

Для решения дифференциальных уравнений необходимо задать дополнительные условия. Пусть заданы начальные условия
(4)
Рассмотрим алгоритм решения задачи Лагранжа в общем виде.
Составляется функция Лагранжа. Очень часто эту функцию называют - функционалом:
(5)
Составляется функционал Гамильтона H, который учитывает ограничения по скорости изменения рассматриваемых функций
(6)
где - неизвестные функции от времени, которые называются неопределенными множителями. Для определения этих функций воспользуемся модифицированной теоремой Ферма:
Пусть функционал H( ,y, u) дифференцируем по u , существует экстремум функционала в точке и соответствующий вектор y ˆ(t) является оптимальным, т.е. доставляет экстремум гамильтониану H . Тогда можно найти такие оптимальные значения что экстремум функционала H совпадет с минимальным значением функционала I(y, u).
Иначе говоря, у этих функционалов оптимальный вид функций y ˆ(t) и u ˆ(t) совпадают