Приближённое вычисление интегралов по формуле Эйлера

Введение

Имя Леонарда Эйлера знаменует собой определенный этап в развитии математики, да и не только математики, - Эйлер положил краеугольный камень ряда дисциплин естествознания. В славной плеяде творцов отечественной науки Эйлеру принадлежит одно из почетных мест.
Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Леонард Эйлер. Эйлер был, прежде всего, математиком, но он знал что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.
Леонард Эйлер был избран академиком в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук.
Эйлер прославил своей деятельностью как Петербургскую, так и Берлинскую Академии. Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков.
Жизнь Эйлера, охватывающая почти весь 18 век, включает в себя 60 лет творческой деятельности, отмеченной поистине удивительной продуктивностью: Эйлер написал около 760 статей для журналов, 40 книг, а 15 его работ было подготовлено для всевозможных конкурсов. Он заполнил заметками множество записных книжек и написал несколько тысяч писем в различные страны Европы. Его работоспособность росла год от года на протяжении всей его жизни. Статистические подсчеты показывают, что Эйлер в среднем делал одно открытие в неделю.
Даже сейчас, через 250 лет после смерти Эйлера, его работы побуждают ученых всего мира к творчеству в самых различных областях математики и ее приложений [1, С.3].


Леонард Эйлер. Жизненный путь и труды по интегральному исчислению.

Леонард Эйлер принадлежал к семье, поселившейся в конце XVI века в швейцарском городе Базеле. Он был сын Павла Эйлера (1670—1745) — пастора одной из церквей этого города. Родился Леонард Эйлер 4(15) апреля 1707 г. в городе Базеле. В 1708г. Отец его получил приход в местечке Риэн, расположенном неподалеку от Базеля. Там, на лоне сельской природы, прошли детские годы Леонарда Эйлера. Матерью его была Маргарита Брукер (1677—1761), происходившая из рода, давшего Базелю многих известных ученых [1,C. 18].
Первоначальное образование получил Эйлер у отца. Павел Эйлер обучал сына математике, которую любил и ценил, будучи учеником известного математика Якова Бернулли (1654—1705). Предназначая сына к духовному званию, отец Эйлера никак не предполагал, что математика станет всепоглощающей страстью его сына; на свои уроки он смотрел только как на умственные развлечения для обучаемого. Следуя своему плану, он отправил сына в Базель для изучения философии. Тринадцатилетний Эйлер — студент младшего философского факультета Базельского университета. Имея изумительную память, Эйлер легко справлялся со схоластической премудростью и в свободное время посещал лекции по математике, его любимой науке, в Базельском университете, которые читал другой представитель знаменитой семьи Бернулли, брат Якова, Иоганн (1667—1748). Иоганн Бернулли не мог не заметить таланта своего ученика; он предложил ему самостоятельно изучать математические творения самых знаменитых авторов, разрешив еженедельно по субботам приходить к себе домой для выяснения наиболее трудных вопросов. Знакомство с семьей Бернулли сыграло большую роль в жизни молодого Эйлера, он подружился с сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем (1695—1726) и Даниилом (1700—1782), также усердно занимавшимися математикой [1,C. 35].
Занятия Эйлера шли так успешно, что уже 9 июня 1722 г. он получил по философии свою первую степень «Первые лавры» (prima laurea), соответствующую степени бакалавра, а 8 июня 1724 г., семнадцати лет от роду, он произносит по-латыни речь о сравнении философских воззрений Ньютона и Декарта; за эту речь он получает ученую степень магистра искусств (magister artium). В связи с этим интересно отметить, что, еще, будучи студентом философского факультета, Эйлер трижды привлекался в качестве оппонента при защите диссертаций: две были представлены на замещение кафедры логики, третья относилась к истории римского судопроизводства. Имя Эйлера в документах при этом сопровождалось эпитетами «praestantissimus», «flo- rentissimus», «ingeniosissimus», т. e. «превосходнейший», «одареннейший», «талантливейший» [1,C. 57].
Осенью 1723 г. он по настоянию отца Эйлер поступил на богословский факультет, где, помимо теологии, изучал греческий и древнееврейский языки, однако с математикой не порывал, отдавая ей все свободное время.
28 января (по ст. стилю) 1724 г. Петром I была основана Петербургская Академия наук, открытая уже после его смерти. В нее были приглашены среди прочих ученых братья Николай и Даниил Бернулли. Эйлеру хотелось последовать за ними и Бернулли обещали ему найти подходящее место. Год спустя, т. е. в 1726 г., они известили его о том, что он приглашается читать лекции по физиологии, и рекомендовали ему заняться медициной.
Получив это известие, Эйлер начинает ревностно заниматься медициной и даже записывается на медицинский факультет. Однако своих занятий физико-математическими науками Эйлер не бросал и защитил (18 февраля 1727 г.) диссертацию на право выступить кандидатом на занятие кафедры физики в Базельском университете. Диссертация называлась «Диссертация по физике о звуке» («Dissertatio physica de sono») и трактовала о природе и распространении звука. Более того, он представил на конкурс, объявленный Парижской Академией наук, сочинение о расположении мачт на корабле: «Размышление о проблеме расположения мачт на корабле» («Meditationes super problemate nautico de implantatione malorum»), удостоенное в 1727 г. почетного отзыва и напечатанное Академией в собрании премированных трудов; этим произведением начиналась серия знаменитых работ Эйлера по вопросам навигации. Предмет такого сочинения для уроженца гор кажется удивительным, но такова была могучая сила молодого таланта.
Термин «интегральное исчисление» в эпоху Эйлера употреблялся в гораздо более широком смысле, чем теперь. Лишь небольшая часть труда Эйлера посвящена интегрированию функций; остальные разделы охватывают интегрирование дифференциальных уравнений — обыкновенных и с частными производными

. Как и всегда, излагая материал строго систематически и в высшей степени популярно, Эйлер почти в каждой главе доводит изложение до результатов, открытых буквально в последние дни перед написанием трактата. Огромное большинство этих новых результатов принадлежит самому Эйлеру. В «Интегральном исчислении» эта манера Эйлера особенно ощутительна, так как теория дифференциальных уравнений находилась в это время в стадии интенсивной разработки, тогда как материал «Введения в анализ» и «Дифференциального исчисления» в значительной мере приобрел устоявшиеся формы.
С другой стороны, методика изложения в «Интегральном исчислении» во многих отношениях ближе к современной, чем в предшествующих частях курса. Например, интегрирование функций или элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений излагаются и сейчас почти в той же форме, в какой их впервые изложил Эйлер. Причиной этого является, пожалуй, то обстоятельство, что в упомянутых разделах ведущую роль играет формальный элемент, и непревзойденное конструктивное мастерство Эйлера оказало определяющее влияние на всю позднейшую учебную литературу.
Конечно, доверие Эйлера к силе аналитического аппарата и индуктивно найденным закономерностям потребовало позднее новой, более углубленной трактовки вопросов существования и единственности. Но даже и там, где Эйлер игнорирует количественные оценки, позднейшие исследования сохранили многие структурные черты изложения Эйлера; чтобы убедиться в этом, достаточно познакомиться, скажем, с эйлеровой теорией приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.
В предисловии к новейшему изданию «Интегрального исчисления» Л. Шлезингер, высказывая мысль, что Эйлер пришел бы к количественному методу, если бы он «поставил задачу действительно определить величину допущенной погрешности», говорит, что история математики еще должна осветить вопрос, почему математики XVIII века и в их числе такие, как Эйлер и Лагранж, не пошли по пути, который спустя несколько десятилетий проложили Гаусс, Больцано, Коши и Абель. На этот вопрос мы сделали попытку ответить во вступительном слове к «Дифференциальному исчислению» Эйлера; мы полагаем, что высказанные там соображения применимы в полной мере и к «Интегральному исчислению» Эйлера [2, С. 15].
Нет сомнения в том, что «Интегральное исчисление» Эйлера знаменует историческую эпоху в развитии математического анализа. Но этим не ограничивается значение этого труда. Идейное его богатство и по настоящее время не исчерпано полностью.
Не случайно поэтому, что «Интегральное исчисление» издавалось чаще, чем другие курсы Эйлера; Петербургская академия наук издавала его четырежды: в 1768—1770 гг., в 1792—1793 гг., в 1824—1827 гг. и в 1895 г. (в последнем издании—только третий том). Эйлер лишился зрения в 1766 г. и корректур «Интегрального исчисления» читать не мог. Поэтому в первом издании оказалось большое количество ошибок, лишь частично исправленных в последующих трех.
«Интегральное исчисление» не раз переводилось на живые языки, но в переводе на русский язык оно появляется впервые.

Сравнительный анализ методов численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла [6, C. 27]:


Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
Чаще всего f(x) заменяют некоторым обобщенным интерполяционным многочленом. Так как такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функция при этом заменяется некоторым линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах:

fx=i=0nfxiφix+r(x)

где r(x) – остаточный член аппроксимации. Подставляя последнюю формулу в формулу определенного интеграла получаем формулу численного интегрирования, или как еще ее называют квадратурную формулу:

F=i=0ncifxi+R

ci=abφixρ(x)dx

R=abrxρ(x)dx

где величины xi называют узлами, сi – весами, R – погрешностью или остаточным членом формулы, ρ(x) - весовая функция непрерывная на интервале (a,b).
Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причем узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции f(x).
Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях:
1. в выборе конечного числа вместо n;
2. в выборе точки xi на соответствующем отрезке.
В зависимости от выбора xi мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: формулы левых и правых прямоугольников, формулу трапеции, формулу Симсона а также формулу Эйлера.


2.1 Формула прямоугольников
Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х0 = а, х1 = a + h, ..., xn= b отметим ординаты y0, y1,…, yn кривой f(x), т.е. вычислим уi = f(xi), xi = a+ ih = xi-1+ h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi, где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла, приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (см. Прил. 1, рис.1). Отсюда получим формулу левых прямоугольников [4, C.45]:


Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано в (Приложении 1) пунктирной линией, то получим второй вариант формулы правых прямоугольников [4, C. 50]:


Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (см. Прил. 1, рис.2):


Эта формула носит название: формула центральных прямоугольников.

2.2 Формула трапеций

Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования