Периодические орбиты в задаче трех тел. История вопроса
Введение
Задача трех тел представляется классической для небесной механики. Впервые она была сформулирована И. Ньютоном в тысяча шестьсот восемьдесят седьмом году и с тех пор привлекает внимание многих выдающихся астрономов, математиков и механиков. Общее решение задачи трех тел было получено в тысяча девятьсот двенадцатом году К. Сундманом в виде равномерно сходящихся рядов, однако, оно имело недочеты. К несчастью, как показал Д. Белорицкий, по крайней мере в случае Лагранжа, для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Cундмана нужно брать как минимум {\displaystyle 10^{8\cdot 10^{6}}} 108∙106 членов (4).
Наряду с попытками найти общее решение задачи, предпринимались попытки получить решения в различных частных случаях, например, в системе тел, лежащих на одной прямой или в вершинах равностороннего треугольника. Важная роль в динамике тройных систем отводится периодическим орбитам. Результаты исследований периодических орбит в задаче трех тел появлялись регулярно со времен А. Пуанкаре.
В последние десятилетия интерес к данной теме существенно возрос, о чем может свидетельствовать появление большого количества работ, использующих аналитические и численные методы исследований. Непрерывный прогресс вычислительной техники позволяет разработку и применение все новых методов и подходов в изучении периодических орбит, чем объясняется актуальность заявленной темы.
Целью работы является исследование истории изучения периодических орбит в задаче трех тел. Для достижения заявленной цели необходимо решение следующих задач: перечислить и разобрать основные исторические достижения в изучении задачи трех тел; упомянуть особенности постановки задачи; рассмотреть частные решения задачи трех тел и выяснить современную специфику изучения периодических орбит.
Над изучением заявленной темы работали такие исследователи как А.И. Мартынова «Поиск и исследование близких к периодическим орбит в плоской задаче трех тел равных масс», П.П. Ясько «Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел», В.Б. Титов «Периодические орбиты общей задачи трех тел с нулевым кинетическим моментом», В.М. Алексеев «Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика», Т.А. Агекян и Ж.П. Аносова «Исследование динамики тройных систем методом статистических испытаний» и другие.
1 История изучения задачи трех тел
1.1 Исторические достижения в изучении задачи трех тел
История изучения задачи трех тел берет начало еще во времена научных открытий И. Ньютона. Он, отталкиваясь от законов И. Кеплера, впервые сформулировал закон всемирного тяготения, на его основе И. Ньютон построил теории движения планет Солнечной системы, Луны и комет, теорию приливов и отливов. Ученым была оценена масса Земли и Луны. Для того чтобы решить поставленные задачи, И. Ньютон разработал аппарат дифференциального и интегрального исчислений, который составил основу математического анализа. При построении теории движения Луны учитывалось притяжение как Солнца, так и Земли. Таким образом, оформление получила задача гравитационного взаимодействия трех тел. Ньютону так и не удалось получить точного решения, однако он смог найти приближенное.
Дальнейшее изучение задачи трех тел имело место в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа. Ими были найдены первые частные аналитические решения для тел произвольных масс. В решении Л. Эйлера рассматривается случай, где все три тела находятся на одной прямой, вращающейся вокруг центра масс (сизигия), все тела движутся по эллипсам. У Ж. Лагранжа решение представляет собой систему, где тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося и пульсирующего вокруг общего центра масс. Тела также движутся по эллипсам.
Стоит отметить, что решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа являются периодическими, это значит, что через определенный промежуток времени координаты и скорости каждого тела станут равны начальным условиям. Упрощенным вариантом задачи трех тел является ограниченная задача трех тел, в которой массой одного из тел можно пренебречь. Для описания круговой ограниченной задачи (тела конечных масс двигаются по относительной круговой орбите) Л. Эйлер впервые ввел вращающуюся систему координат. В ходе работы с данной системой, им были обнаружены три равновесные точки, которые лежат на прямой, соединяющей центры массивных тел (6).
Позже Ж. Лагранжем были найдены еще две точки, которые находятся в вершинах равносторонних треугольников. Точки равновесия занимают неподвижное положение во вращающейся системе координат, в них уравновешены гравитационные силы со стороны массивных тел и сила инерции (7). В Солнечной системе известны группы тел, находящиеся в окрестности точек Лагранжа. Например, группы астероидов Греки и Троянцы в системе Солнце–Юпитер. На основе недавних исследований стало известно также об астероидах в точках Лагранжа систем Солнце–Земля, Солнце–Марс, Солнце–Сатурн, Солнце–Нептун.
Впоследствии изучением круговой ограниченной задачи трех тел занимались Б. Якоби и Дж. Хилл. С использованием вращающейся системы Б. Якоби был получен интеграл движения, который впоследствии был назван в его честь. Применяя интеграл Б. Якоби к движениям астероидов, Дж. Хиллом были найдены области возможных движений и введены поверхности нулевых скоростей, служащие границами этих областей. Кроме того, им была сформулирована и исследована задача трех тел, в случае, когда масса одного тела много больше массы других, и расстояние до массивного тела много больше, чем расстояние между двумя другими. Эта задача носит имя Дж. Хилла. В ее рамках был найден новый класс периодических решений и построена теория движения Луны, превосходящая по точности ньютоновскую (5).
В конце девятнадцатого века значительный вклад в задачу трех тел внес французский математик А. Пуанкаре. Его фундаментальный труд «Новые методы небесной механики» в большей степени посвящен изучению круговой ограниченной задачи трех тел. Пуанкаре разработал ряд новых качественных методов решения дифференциальных уравнений, использовал их в дальнейшем для обнаружения и изучения периодических решений. В то же время он показал неинтегрируемость системы уравнений, описывающей движение в задаче трех тел.
Новые методы, развитые А. Пуанкаре, позволили ученому выявить непредсказуемость движений в общей задаче трех тел и установить проявление нового феномена, известного сейчас под понятием «хаос». Пуанкаре изучил задачу Дж. Хилла и обобщил определение периодических орбит. Он нашел начальные условия, соответствовавшие периодическим решениям в специальном случае ограниченной задачи трех тел. Математиком было выделено три сорта решений: решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел; решения, которые порождены эллиптическими орбитами в задаче двух тел; решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел с ненулевым наклоном орбиты третьего тела по отношению к плоскости движения главных тел (11)
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. Работы А. Пуанкаре послужили стимулом для дальнейших поисков, изучения и классификации периодических орбит в задаче трех тел.
Дальнейшее развитие идей А. Пуанкаре об устойчивости периодических орбит было осуществлено в работах Дж. Биркхоффа в начале двадцатого века. Он ввел понятие «рекуррентное движение», которое в течение достаточно длительного интервала времени подходит сколь угодно близко к любому своему состоянию, и показал, как это соотносится с орбитальной устойчивостью. Кроме того, Дж. Биркхоффом была доказана последняя геометрическая теорема, сформулированная А. Пуанкаре. Эта теорема утверждает, что существует бесконечно много периодических орбит вблизи любой устойчивой периодической орбиты.
Занимаясь поиском периодических и непериодических решений в задаче трех тел, исследователи осознали, что дифференциальные уравнения движения содержат сингулярности. Такие сингулярности обусловлены двойными и тройными соударениями, при которых одно или все три расстояния между телами становятся равными нулю. Двойные соударения не представляют собой существенную особенность, и дальнейшее аналитическое продолжение решения остается возможным. Тройные соударения - это существенные особенности, которые в общем случае не допускают аналитического продолжения.
Регуляризацией уравнений движения называют совокупность методов, позволяющих устранить сингулярности уравнений движения при двойных соударениях. Данная идея регуляризации движений при двойном соударении в задаче двух тел принадлежит Л. Эйлеру. В своих работах П. Пенлеве впервые начал исследовать сингулярности в задаче трех тел. Он определил, что сингулярности в тройных системах появляются только при соударениях и они могут быть исключены, если соблюдены определенные начальные условия, для которых уравнения движения могут быть проинтегрированы с помощью степенных рядов. Несмотря на то, что П. Пенлеве не смог найти решений в виде рядов, его работы послужили хорошим стимулом для дальнейших исследований в этой области (8).
В начале двадцатого века регуляризацией двойных соударений занимались Т. Леви-Чивита, К. Сундман и другие. Кроме того, они исследовали тройные соударения и сформулировали теоремы, которые позволили найти условия для таких соударений. В частности, К. Сундман доказал, что тройное соударение возможно только в тройных системах с нулевым угловым моментом. Следовательно, если все три тела столкнутся в одной точке пространства, то они двигаются в плоскости, в которой лежит их центр масс. При приближении к точке тройного соударения тела асимптотически приближаются к одной из центральных конфигураций, либо к прямолинейной конфигурации Л. Эйлера, либо к треугольной конфигурации Ж. Лагранжа.
Во второй половине девятнадцатого века многие исследователи пытались получить решение задачи трех тел в виде рядов, однако эти усилия не увенчались успехом. В то же время П. Пенлеве пришел к выводу, что такие решения принципиально возможны. В тысяча девятьсот двенадцатом году К. Сундманом было получено общее решение задачи трех тел в виде степенных рядов. Кроме того, он доказал равномерную сходимость этих рядов. В дальнейшем выяснилось, что полученные ряды обладают медленной сходимостью, следовательно, они не могут быть применимы на практике (9).
Еще одной заслугой А. Пуанкаре в исследовании задачи трех тел является запись уравнений движения в гамильтоновой форме. В общем случае гамильтоновы системы могут быть разделены на интегрируемые и неинтегрируемые. В своих работах П. Пенлеве и А. Пуанкаре исследовали проблему существования в задаче трех тел дополнительных интегралов (кроме десяти классических) и доказали их отсутствие в широком классе функций. Таким образом, стало возможным предположить, что система уравнений, описывающая движения трех тел, не интегрируема. Такие системы могут иметь периодические решения, которые зависят от начальных условий.
Со времен А. Пуанкаре многие исследователи пытались найти ответ на вопрос, что произойдет с решением интегрируемой системы, если основные уравнения подвергнуть возмущениям. Верный ответ на этот вопрос был получен А. Колмогоровым, но, с отсутствием формального доказательства, которое было представлено позже Ю. Мозером и В. Арнольдом. Соответствующая теорема, известная под названием теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теорема), утверждает сохранение большинства инвариантных торов в фазовом пространстве при малом возмущении интегрируемой гамильтоновой системы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением (1).
Периодические орбиты играют важную роль в динамике трех тел. Вблизи устойчивых периодических орбит существует множество наборов траекторий с ограниченными движениями, повторяющими порождающую их периодическую орбиту на качественном уровне. Согласно КАМ-теории, эти множества имеют конечную меру. Это означает, что существует ненулевая вероятность наблюдений принадлежащих этим множествам тройных систем реальных астрономических объектов (тройные звезды, триплеты галактик и так далее).
Таким образом, истории изучения задачи трех тел известно множество успешных ученых, привносящих в общее число научных открытий свои научные достижения. Среди них можно отметить И. Ньютона, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Б. Якоби, Дж. Хилла, А. Пуанкаре, Дж. Биркхоффа, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита, К. Сундмана, Ю. Мозера и В. Арнольда. Данный ряд исторически значимых исследователей можно продолжать далее. Однако один из наиболее трудных научных прорывов всего человечества связывают именно с этими именами.
2 Исследование периодических орбит
2.1 Частные решения задачи трех тел
Как уже упоминалось ранее в данной работе, Л. Эйлеру и Ж. Лагранжу удалось получить два класса частных периодических решений задачи трех тел. В обоих случаях тела движутся по замкнутым эллиптическим орбитам. В первом случае движения происходят таким образом, что все три тела в каждый момент времени располагаются на одной прямой, которая вращается вокруг центра масс системы. Во втором случае в каждый момент времени тела располагаются в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг центра масс системы. В обоих этих классах решений тела находятся в, так называемых, центральных конфигурациях.
В соответствии с определением центральной конфигурации, гравитационные ускорения тел прямо пропорциональны их векторам положения. Для центральной конфигурации отношения взаимных расстояний между телами в ходе динамической эволюции остаются постоянными. Решение Л. Эйлера является неустойчивым по отношению к малым вариациям начальных условий. Конфигурационный треугольник Ж. Лагранжа в ходе вращения меняет свои размеры, оставаясь при этом равносторонним
50% реферата недоступно для прочтения
Закажи написание реферата по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее
время!
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Задать вопрос
