Оптимальное управление

Введение

Актуальность работы. Создание в середине 50-х годов прошлого столетия математической теории оптимального управления было связано с потребностями решения технических и экономических задач. Проблемы управления, в частности проблемы отыскания наилучшего, оптимального управления, возникают всюду. Наиболее яркие примеры таких задач – это задачи управления летательными аппаратами, управления технологическим процессом на производстве и т. п. В настоящее время оптимальное управление выросло в обширную самостоятельную теорию, использующую в своих исследованиях аппарат высшей алгебры, математического и функционального анализа, дифференциальных уравнений. [1]
Целью работы является изучением функционала и критериев качества управления. Для достижения цели поставлены следующие задачи:
- изучить теории по оптимальному управлению;
- что такое функционал;
- критерий качества управления.

Глава 1. Функционал

При исследовании систем управления, моделирующих различные явления в науке, технике, экономике, часто возникает проблема оптимизации, или задача оптимального управления изучаемым процессом.
Задачи оптимального управления относятся к наиболее сложным в теории оптимизации. Самая же простая в этой теории – задача нахождения экстремума (минимума или максимума) функции одной переменной. Ее естественным обобщением является задача нахождения экстремума функции многих переменных. Решение этой задачи представляет собой конечный вектор, элемент векторного пространства, поэтому задачи такого характера называются задачами конечномерной оптимизации.
Дальнейшее обобщение и усложнение в теории оптимизации составляет исследование экстремума функционала. Существенным отличием здесь от предшествующих задач является то, что решение представляет собой не конечный вектор, а функцию, элемент бесконечномерного функционального пространства. Отсюда вытекает вся сложность таких задач, и к ним относятся задачи оптимального управления. [2]

1.1. Задача оптимизации функционала
Рассмотрим множество M произвольной природы. Говорят, что на множестве M задан функционал F, если известно правило, по которому каждому элементу v∈M ставится в соответствие определенное действительное число c. При этом пишут: F(v) =c. Множество M называется областью задания, или областью определения функционала F. Элементы множества M называют аргументами функционала. Функционал осуществляет отображение множества M на множество действительных чисел и является обобщением понятия функции. Приведем примеры функционалов.
Пример 1. Пусть M – это множество плоских фигур, ограниченных замкнутыми кривыми. Каждой фигуре v∈M поставим в соответствие ее площадь S= F(v). Тем самым будет определен функционал F с областью задания M.
Пример 2. Пусть M – это множество функций, заданных и непрерывных на отрезке [a, b]. Каждой функции y = y(x) из M поставим в соответствие действительное число F(y), равное ее интегралу на отрезке [a, b]:

Это соотношение определяет функционал F с областью задания M .
Приведем основные сведения из теории экстремума функционалов. Будем рассматривать в качестве области задания функционалов пространство непрерывных функций, определенных на отрезке [a,b], которое обозначается C [a, b].
Расстоянием между двумя функциями называется число

ε -окрестностью функции называется совокупность функций x (t), расстояние которых от x0(t)меньше ε :

Функционал F (x) называется непрерывным при x= x0(t), если для любого ε >0 существует δ >0 такое, что для всех функций x (t), удовлетворяющих условию ρ(x,x 0) < δ, выполняется неравенство

Функционал F (x) называется линейным, если он удовлетворяет условиям:

где c – произвольная постоянная;

Функционал F (x), заданный на выпуклом множестве, называется выпуклым, если при всех x, y∈C [a, b] и всех λ, (0 ≤λ≤ 1 ) выполняется неравенство

Если в этом условии при x ≠ y равенство возможно только при λ = 0 или λ =1, то функционал называется строго выпуклым.
Функционал F (x) называется ограниченным снизу (сверху), если существует число A, такое, что при всех x из области определения функционала выполняется неравенство F (x)≥ A (F(x)≤ A ).
Обозначим через δ x разность между двумя функциями

Эта разность называется вариацией, или приращением аргумента x(t). Приращению аргумента δ x будет соответствовать величина

которая называется приращением функционала. Предположим, что приращение функционала F (x) можно представить в виде

где L (x, δx) – линейный по отношению к δ x функционал, (норма функции δx(t)), и при
Линейная часть приращения L(x, δx) функционала F(x) называется вариацией функционала и обозначается δF. Сам функционал называется дифференцируемым в точке x= x(t ).
Функционал F(x) достигает в точке x= x0(t) относительного (или локального) минимума, если для всех функций x(t), принадлежащих некоторой ε – окрестности функции x0(t), имеет место неравенство
(1.1)
Функционал F(x) достигает в точке относительного (или локального) максимума, если для всех функций x (t), принадлежащих некоторой ε -окрестности функции x0(t), имеет место неравенство
(1.2)
Если неравенства (1.1), (1.2) заменить на строгие, то получим определение строгого относительного минимума и строгого относительного максимума соответственно.
Если неравенство (1.1) выполняется для всех функций из множества C[a,b], то, функционал F (x) достигает на C[a,b] абсолютного (или глобального) минимума в точке x0(t).
Если неравенство (1.2) выполняется для всех функций из множества C[a,b], то, функционал F(x ) достигает на C[a,b] абсолютного (или глобального) максимума в точке x0(t).
Минимум и максимум имеют общее название – экстремум. Задачу отыскания экстремума функционала кратко записывают в виде
(1.3)
Каждая точка, в которой достигается экстремум, называется решением задачи (1.3) (локальным или глобальным). Решение может быть не одно.
Пусть U – некоторое подмножество C [a,b]. Рассмотрим задачу отыскания экстремума F (x) на множестве U
(1.4)
Задачу (1.4) называют задачей на условный экстремум, в то время как задача (1.3) – это задача на безусловный экстремум (или задача безусловной оптимизации). Множество U может быть задано всевозможными способами, в том числе с помощью равенств или неравенств, например

Задача минимизации функционала
(1.5)
эквивалентна задаче максимизации

в том смысле, что множества глобальных, локальных, строгих или нестрогих решений этих задач соответственно совпадают. Это позволяет переносить результаты, полученные для задач минимизации, на задачи максимизации и наоборот. Поэтому несколько основных теорем из теории оптимизации функционалов [3], которые будут приведены ниже, сформулированы для задачи минимизации. Все эти теоремы являются обобщением известных результатов конечномерной оптимизации, в частности оптимизации функции одной переменной.
Пусть U – выпуклое множество в C[a,b], F(x) выпуклый функционал, определенный на U. Тогда всякая точка локального минимума F(x) одновременно является точкой его глобального минимума на U, причем эта точка единственная, если F(x) строго выпуклый.
Пусть F(x) – дифференцируемый в точке x=x0(t) функционал, причем x0(t) – внутренняя точка области его определения. Если F(x) достигает минимума при x=x0(t), то вариация функционала F(x) в этой точке обращается в ноль:

Пусть U – выпуклое, ограниченное, замкнутое множество в C[a,b], F(x) – выпуклый, непрерывный функционал, заданный на множестве U

. Тогда F(x) достигает на U своего минимума.
В общем случае задача минимизации (1.5) может не иметь решения, т.е. может не существовать точки, принадлежащей области определения функционала, для которой выполняется неравенство (1.1). В этом случае имеет смысл несколько другая постановка задачи оптимизации, задача отыскания нижней грани функционала. Аналогично вместо задачи максимизации ставится задача отыскания верхней грани.
Число m называется нижней гранью функционала F(x) на множестве U, если:
1) F(x)≥ m при всех x∈U ,
2) для любого 0 >ε найдется точка xε ∈U, для которой F(x ε)<m+ε.
Нижняя грань обозначается
infx∈U Fx=m
Число M называется верхней гранью функционала F(x) на множестве U, если:
1) F(x)≤M при всех x∈U,
2) для любого 0 >ε найдется точка xε∈U, для которой F(xε)>M−ε.
Верхняя грань обозначается

Последовательность xk∈U называется минимизирующей для функционала F(x) на множестве U, если

Последовательность xk∈U называется максимизирующей для функционала F(x) на множестве U, если
.
Легко показать, что из существования нижней грани вытекает существование минимизирующей последовательности, а из существования верхней грани вытекает существование максимизирующей последовательности. Нижняя грань существует не для всякого функционала. Чтобы существовала нижняя грань, функционал должен быть ограничен снизу. Имеет место следующая теорема.
Пусть на множестве U задан ограниченный снизу функционал J(x). Тогда реализуется одна из двух возможностей:
1) существует элемент x0(t)∈U, на котором достигается минимум функционала J(x),
2) существует нижняя грань функционала J(x).
Аналогичная теорема имеет место для ограниченного сверху функционала и его верхней грани.
Теорема имеет важное значение. Она говорит о том, что задача отыскания наименьшего значения ограниченного снизу функционала всегда имеет смысл. А именно или мы можем найти точное решение задачи (когда существует минимум), или можем найти приближенное решение (когда существует нижняя грань). Во втором случае в качестве приближенного решения можно взять любой член минимизирующей последовательности с достаточно большим номером, так как он будет мало отличаться от нижней грани.
Задачи отыскания экстремума функционала относятся к теории вариационного исчисления, где устанавливаются условия, при которых функционал достигает минимального или максимального значения, а также исследуются методы отыскания точек экстремума. Примером задачи вариационного исчисления является так называемая простейшая задача вариационного исчисления, которая состоит в нахождении экстремума функционала
(1.6)
на множестве непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничным условиям
x(a) = A, x(b) = B.
Если будем рассматривать функционал (1.6) на функциях, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению

то простейшая задача вариационного исчисления будет задачей оптимальногоуправления.

Глава 2. Критерий качества управления

Рассмотрим процесс управления
(2.1)
(2.2)
и рассмотрим множество пар (x,u) в которых u=u(t) (t∈[t0,t1]) – допустимое управление, x= x(t) – соответствующая этому допустимому управлению траектория при начальном условии x(t0) = x0, т.е. решение задачи Коши (2.1), (2.2). Такие пары будем называть допустимыми. В каждый заданный момент времени t пара (x(t),u(t)) полностью характеризует исследуемый процесс. При этом естественно возникает вопрос: как найти такое допустимое управление, при котором изучаемый объект обладал бы необходимыми свойствами, чтобы весь процесс управления был в некотором смысле наилучшим, оптимальным? Для определения качества процесса на множестве пар (x,u) задается функционал J(x,u), который называется критерием качества управления. Таким образом, каждой паре (x,u) ставится в соответствие число J(x,u) – значение функционала. Следует отметить, что критерий качества в каждой конкретной прикладной задаче имеет вполне определенный смысл, например J(x,u) может определять величину расхода топлива, величину различных энергетических затрат, может означать время перемещения траектории из одной точки фазового пространства в другую и т.д.
Цель задачи оптимального управления объектом – это нахождение экстремума (минимума или максимума) критерия качества J(x,u). В дальнейшем будем рассматривать задачи нахождения минимума J(x,u), поскольку отыскание максимума может быть сведено к отысканию минимума. Теперь дадим точную постановку одной достаточно простой задачи оптимального управления (ЗОУ). Задача оптимального управления состоит в нахождении такого допустимого управления u(t) и соответствующей траектории x(t), удовлетворяющей задаче Коши
(2.3)
(2.4)
при которых критерий качества J(x,u), рассматриваемый на множестве допустимых пар, достигает минимального значения.
В краткой форме эта ЗОУ обычно записывается следующим образом:
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Решение сформулированной задачи называется оптимальным управлением и оптимальной траекторией. Эта задача является задачей с закрепленным левым концом траектории, поскольку задано начальное условие (2.6). В то же время – это задача со свободным правым концом траектории, поскольку на x (t1) не наложено никаких ограничений.
Рассмотрим обобщение задачи (2.5) – (2.8). Пусть в фазовом пространстве En заданы множества X0, X1. Предположим, что за начальное состояние x0 системы (2.5) можно брать любую точку из X0, и будем рассматривать те допустимые управления, при которых правые концы соответствующих траекторий будут принадлежать множеству X1. В этом случае можно сформулировать ЗОУ с подвижными концами, а именно, задача оптимального управления с подвижными концами состоит в отыскании допустимого управления и соответствующей траектории, выходящей из множества X0 и заканчивающейся в множестве X1, которые доставляют минимум критерию качества J(x,u). В краткой форме эта задача записывается следующим образом:
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
В том случае, когда множество X1 состоит из одной точки (X1={x1}), мы будем иметь задачу с закрепленным правым концом траектории. Если множество X0 (или X1) совпадает со всем фазовым пространством En, то говорят, что левый (или правый) конец траектории свободен. В этом случае мы имеем задачу со свободным левым (или со свободным правым) концом.
Задачу оптимального управления (2.9) – (2.13) можно рассматривать как задачу оптимизации функционала J(x,u) при ограничениях (2.9) – (2.13). Характерным для ЗОУ является наличие дифференциальной связи (2.9) (уравнение процесса). Изменяя ограничения (2.10) – (2.12), можно получать различные ЗОУ для системы (2.9) и критерии качества (2.13). Так, например, кроме условий (2.10), (2.11), или вместе с ними можно задать граничные условия в виде

где ϕ – заданная функция переменных (x1,…xn, y1,…yn). Получим более сложные для исследования задачи, если добавим ограничение на управление в виде

где g – заданная функция переменных (u1,…um,t), или ограничение на фазовые переменные

где h – заданная функция переменных (x1,…xn,t), или смешанные ограничения

где q – заданная функция переменных (x1,…xn, u1,…um,t).
В рассмотренных задачах предполагалось, что t0, t1– фиксированные числа. Вместе с тем возможны ситуации, когда начальный и конечный моменты времени t0, t1 неизвестны и подлежат определению