Методы построения и проверки надежности модели.

Введение

Исследователям в ходе своей деятельности часто приходится прибегать к использованию эконометрических моделей. Они необходимы для подробного анализа процессов, происходящих в экономике, социологии и других науках, а также возможности прогнозирования сценариев дальнейшего развития событий (например, прогнозирования погоды или курса валют). Экономические модели могут различаться по масштабам и совокупности включенных в них переменных.
Информационно базой для созданий таких моделей являются пространственные и временные ряды. Пространственные ряды – это ряды, характеризующие несколько объектов за один промежуток времени. Временные ряды, в свою очередь, это ряды, характеризующие последовательность значений количественного показателя исследования за разные периоды времени.
Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа моделей, характеризующих временные ряды, могут привести к ухудшению свойств модели.
Стандартно, временной ряд содержит три основные составляющие – сезонную (или циклическую) компоненту, тенденцию и случайную компоненту. Если временные ряды содержат сезонную (или циклическую составляющую), то для проведения дальнейшего исследования сначала удаляют данную компоненту, так как ее наличие может привести к искажению исследуемых коэффициентов. Также, если рассматриваемые ряды имеют тенденцию, то перед проведением анализа ее также оценивают, т.к. необходимо установить зависимость происходит между самими рядами или ряды зависят также от параметра времени. Чтобы получить корреляционную зависимость между ряда необходимо также устранить тенденцию. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков за разные моменты времени.
Актуальность данной темы обусловлена частым использованием изучаемых методов для построения и проверки надежности модели.
Целью исследования является изучение современных методов проверки наличия автокорреляционной зависимости в уровнях ряда. В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:
Раскрыть сущность понятия «автокорреляция», выявить причины и последствия ее наличия в модели.
Рассмотреть тесты, используемые для характеристики наличия автокорреляции в изучаемых рядах данных
Приведение примеров использования данных тестов на практике.
Изучить учебную литературу, публикации по исследуемой теме.
Предмет исследования – эконометрические методы обнаружения наличия автокорреляционной зависимости.
Объект исследования – практические задачи по нахождению автокорреляции.
Теоретическую основу исследования составляет изучение отечественной и зарубежной литературы, учебной литературы, монографий, периодических изданий, публикаций по теме эконометрических исследований.
Для написания работы использовались следующие методы: анализ, систематизация, сравнение, графическое моделирование, описание, математические и аналитические расчеты.


Раздел 1 Суть понятия «автокорреляции» и причины ее возникновения
Под корреляцией понимается статистическая зависимость двух или более случайных величин. Автокорреляция – это наличие корреляционной зависимости между уровнями изучаемой переменной.
Автокорреляция случайной составляющей (остатков) – корреляционная зависимость текущих остатков ei и предыдущих ei-k значений случайной составляющей.
Упорядоченность наблюдений оказывается существенной в том случае, когда результаты предыдущих наблюдений оказывают влияние на результаты последующих. Таким образом, случайные величины остатков ei модели оказываются зависимыми, т.е. коэффициент корреляции между ними не равен нулю. Математически это можно записать так: rei,ej≠0. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции. Чаще всего в практике ими оказываются временные ряды, реже - пространственные ряды, в которых отсутствие автокорреляции постулируется.
Временным лагом в таком случае называется величина сдвига остатков модели регрессии между рядами. А величину временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если между остатками ei ei-1 существует корреляционная зависимость, в этом случае временной лаг будет равен 1. Тогда данную корреляционную зависимость можно будет охарактеризовать с помощью коэффициента корреляции первого порядка.
Одним из важных условий при построении качественной модели регрессии является некоррелированность случайных остатков модели регрессии, т.е. ее ковариация равна 0.
Для анализа оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от временного лага используют автокорреляционную функцию. Графически она изображается с помощью коррелограммы, которая численно отражает коэффициенты автокорреляции и их стандартные ошибки для последовательных временных периодов в течение выбранного диапазона.
Дл более точного анализа данных на практике нередко рассчитывается частная автокорреляционная функция, которая показывает корреляционную зависимость внутри лагов, исключая влияние промежуточных членов исследуемого ряда.
Различают положительную и отрицательную автокорреляцию. В случае положительной автокорреляции случайного члена ei для ряда последовательно смещают значения переменной в одном направлении, затем в другом.
При графическом изображении положительная автокорреляция выражается в последовательном чередовании зон, где наблюдаемые значения оказываются выше объясненных, и зон, где наблюдаемые значения ниже. Пример построения можно увидеть на графике:


Диаграмма 1. Положительная автокорреляция
При отрицательной автокорреляции случайная велечина ei, как правило, сменяется случайной велечиной ei+1с противоположным знаком

. При графическм изображении отрицательная автокорреляция выражается в том, что результаты наблюдений «слишком чаасто» меняют знак. Примерное поведение графика наблюдаемой переменной изображено на графике 2.

Диаграмма 2. Отрицательная автокорреляция
В экономике чаще всего встречается положительная автокорреляция, которая связана с циклами деловой активности, влиянием сезонных факторов, что отражается на величине случайного члена уравнения регрессии.
Основными причинами, обусловливающими появление автокорреляции являются:
Наличие циклической или сезонной компоненты во временном ряде
Ошибки спецификации модели (неправильно выбор формы модели или зависимой переменной), что приводит к систематическому отклонению регрессии от точек наблюдения.
Сглаживание данных (использование средних показателей)
Эффект паутины – связан с запоздалым реагированием показателей на изменения. Например, акция на товары-заменители в одном периоде привет к снижению спроса на товар в другом.
Одним из условий применения метода наименьших квадратов является отсутствие автокорреляции остатков, что обеспечивает несмещенность оценок параметров. Следствием нарушения данного условия являются:
Смещение оценки дисперсии и, как следствие, снижение
эффективности параметров регрессии.
Оценки стандартных отклонений коэффициентов регрессии
будут смещены, т.е. занижены или завышены.
Значение коэффициентов t-критерия и F критерия Фишера
будут неадекватными. Это связано со смещением оценки стандартных отклонений в сторону занижения.

Раздел 2 Методы обнаружения автокорреляции
Графический метод
Обнаружить наличие автокорреляции можно графическим методом. Для этого с помощью метода наименьших квадратов рассчитывают полученные остатки модели (et) (как разница между значениями фактических и рассчитанных наблюдений). Затем строится график зависимости остатков, которые откладываются по оси ординат, и порядка наблюдения, которые чаще всего откладываются по оси абсцисс.
Если корреляционная зависимость между наблюдениями отсутствует, то остатки на графике также не будут показывать какую-либо зависимость.
2.2 Коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции первого порядка между остатками наблюдений в текущем периоде может быть определен по следующей формуле:
rei,ei-1=i=2nei*ei-1i=1net2
Если полученное значение существенно отлично от нуля, то остатки коррелированны.
Для второго порядка коэффициент рассчитывается по наблюдениям с шагом два ( ei и ei-2.).
rei,ei-2=i=2nei*ei-2i=1net2
По такому же принципу рассчитываются коэффициенты третьего, четвертого и далее порядка.
2.3 Статистика Дарбина-Уотсона.
Для обнаружения автокорреляции остатков используется d-статистика Дарбина-Уотсона: Данный тест является простым методом обнаружения автокорреляции между соседними членами. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Однако его можно применять только для обнаружения автокорреляции первого порядка
Статистика Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:
d=i=2nei-ei-12i=2nei2
Т.е. величина d равна отношению сумме квадратов разностей значений последовательных остатков к сумме квадратов остатков модели.
Статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с коэффициентом корреляции. Существует следующее соотношение между данными показателями при большом количестве наблюдений n:
d≈2*(1-r)
Докажем это:
d=i=2nei-ei-12i=2nei2=i=2nei2-2*i=2nei*ei-1+i=2nei-12i=2nei2=
=i=1nei2e12+i=1ne2i*e2n-2*i=2nei*ei-1i=2nei2=21-i=2neiei-1i=1nei2-e12+en2i=1nei2
При большом количестве наблюдений n сумма e12+en2 значительно меньше i=1nei2, а следовательно, дробь e12+en2i=1nei2 стремится к нулю, а
d≈ 21-i=2neiei-1i=1nei2
Отсюда и следует равенство d≈2*(1-r).
При отсутствии автокорреляции выборочный коэффициент корреляции r окажется не сильно отличным от нуля, а значение d статистики соответственно близким к 2. Приближение статистики к нулю означает отрицательную автокорреляции, приближение статистики к 4 – отрицательную. Для того чтобы понять, какие значения близкие к какому интервалу, рассчитаны специальные таблицы, в которых приведены значения нижних (DL) и верхних (DU) границ d-статистики на разных уровнях значимости.
Рассчитаны значения данного критерия, зависящие от объема выборки (числа наблюдений) :
Если dL<d<4-dU, то принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции
dL<d<dU или 4-dU<d<4-dL, то вопрос о принятии или отвержении гипотезы остается открытым (область неопределенности)
0<d<dL, то принимается гипотеза о положительной автокорреляции.
4-dL<d<4, то принимается гипотеза об отрицательной автокорреляции.
Изобразим результат оценки критерия графически.


Рис. 1 Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков
Недостатками использования критерия Дарбина-Уотсона являются:
не применимость для моделей, в которых случайные отклонения определяются авторегрессионной схемой первого порядка;
наличие области неопределенности, в которой гипотеза о наличии или отсутствие автокорреляции не отвергается и не принимается.
Критические значения d-статистики определены для объемов выборки, в которых более 15 значений.
Неспособность выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков
Не подходит для моделей, в которых отсутствует свободный член.
Тем не менее, на практике чаще всего применяют именно данный тест для обнаружения автокорреляции.
2.4 Тест Бреуша-Годфри (Тест серий).
Тест основан на проверке гипотезы равенства коэффициента ρ в уравнении нулю.
et=ρet-1+vt, t=1,n ,
(где et-1-остатки регрессии, полученные после использования метода наименьших квадратов).
Если p значимо отличен от 0, в этом случае отвергается гипотеза об отсутствии автокорреляции между соседними наблюдениями