Метод оптимальных решений

1. Линейное программирование
Линейное программирование – это метод математического моделирования, при котором линейная функция максимизируется или минимизируется при воздействии различных ограничений. Этот метод применяется для принятия количественных решений в бизнес-планировании, в промышленной инженерии и, в меньшей степени, в социальных и физических науках.
Решение задачи линейного программирования сводится к нахождению оптимального значения (наибольшего или наименьшего, в зависимости от задачи) линейного выражения (называемого целевая функция).
f=c1x1+c2x2…+…+cjxj+…+cnxn→max⁡(min)
При этом на все переменные есть ограничения:
a11x1+a12x2…+…+a1jxj+…+a1nxn=b1…am1x1+am2x2…+…+amjxj+…+amnxn=bm
xj≥0, i=1,2,…, m, j=1,2,…, n
где xj – неизвестные; aij, bi, cj – заданные постоянные величины.
Различают возможные случаи оптимальных решений (планов) задачи линейного программирования:
Задача не имеет оптимальных решений.
Задача имеет единственное решение (единственный оптимальный план).
Задача имеет бесконечное множество оптимальных решений, заданное некоторым линейным образованием – ребром, гранью, гипергранью и т.д.
Таким образом, основное утверждение, лежащее в основе теории линейного программирования, может быть сформулировано следующим образом: если задача линейного программирования имеет хотя бы один оптимальный план, то его следует искать среди вершин допустимого множества решений.
2. Математическое моделирование
Математическое моделирование – это процесс использования различных математических структур – графиков, уравнений, диаграмм, древовидных диаграмм и т.д. – для представления реальных ситуаций. Модель предоставляет собой абстракцию, которая сводит параметры проблемы к ее основным характеристикам.
Модель – это описание системы, теории или явления, которое учитывает ее известные или предполагаемые свойства и может использоваться для дальнейшего изучения ее характеристик. По сути, математическая модель – это математическая структура, которая может использоваться для описания и изучения реальной ситуации.
При математическом моделировании используется соответствующее программное обеспечение

. На первом этапе процесса моделирования определяется целевая функция. Целевая функция – это функция, минимум или максимум, которой требуется найти. Среди целевых функций различают такие виды как линейная, нелинейная, квадратичная, выпуклая и др. – в зависимости от формы математической зависимости, отображаемой в функции. Также различают детерминированные модели, стохастические модели, статистические модели и динамические модели.
3. Основные типы задач оптимизации
Задачи оптимизации можно разделить на задачи статической и динамической оптимизации. В рамках первого типа задач решаются вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, в рамках второго типа задач вопросы создания и реализации системы оптимального управления процессом при неустановившихся режимах эксплуатации.
Также если необходимо найти экстремум целевой функции без задания условий, то в данном случае решается задача безусловной оптимизации. Как правило, такой тип задач используется, например, при нахождении максимальной концентрации целевого продукта и т.п.
В свою очередь, если требуется найти экстремум целевой функции при заданных условиях, которые накладываются на ряд других величин, то в данном случае решается задача условной оптимизации.
В целом алгоритм решения задачи оптимизации включает в обязательном порядке выбор управляющих параметров, а также предполагает установление заданных ограничений на данные параметры. Это могут быть, например, технологические или экономические ограничения.
Помимо этого, различают задачи в зависимости от управляющих параметров:
– одномерная оптимизация (один управляющий параметр),
– многомерная оптимизация (несколько управляющих параметров),
– оптимизация при неопределенных управляющих параметрах,
– оптимизация с непрерывными, дискретными или смешанными управляющими параметрами.
4. Методы решения задач оптимизации
Графический метод.
Графическая оптимизация – это простой метод решения задач оптимизации, включающих одну или две переменные. Данный метод линейного программирования используется для решения проблем путем нахождения самой высокой или самой низкой точки пересечения между линией целевой функции и допустимой областью на графике.
Для задач, включающих только одну переменную оптимизации, минимум (или максимум) можно прочитать на основании графика целевой функции