Математический метод в инженерных расчетах

Введение

Исследование физических систем требует их математического описания (составление математической модели). Это требует выбора необходимого количества некоторых величин таким образом, чтобы физическое состояние системы в каждый момент времени полностью определялось значениями этих величин.
Математическое моделирование электрической цепи начинается с составления уравнений, связывающих токи и напряжения в различных частях электрического круга, в том числе и в нелинейных элементах. При этом приходится учитывать особенности функционирования данной электрической цепи.
Необходимость учета нелинейных характеристик элементов системы возникает в случаях, когда приходится учитывать нежелательные нелинейные явления (нагрев, расширение гармоничный спектр, паразитные токи и т.д.), которые могут привести к вредным и часто непредвиденным искажениям в работе системы. Касательно систем, функционирование которых базируется на использовании нелинейных эффектов, то здесь учет нелинейностей в характеристиках их элементов при анализе работы таких систем является насущной необходимостью.
До 1920-х годов, когда появились электронные усилители и электронные генераторы, процессы в которых требовали аналитической интерпретации, анализу нелинейных систем уделялось незначительное внимание. Благодаря трудам Ван дер Поля стало возможным объяснение процессов, имеющих место в мультивибраторе и генераторе на неоновой лампе. Упомянутые труды положили начало применению нелинейных методов анализа к задачам электротехники.


1. Математические методы в исследования задач нелинейной электротехники

Нелинейность конкретных элементов может быть существенной и несущественной. Несущественная нелинейность не является обязательной для работы цепи, однако она может ухудшать свойства схемы и в конкретных условиях должна учитываться.
Существенная нелинейность, чаще всего, является причиной принципиально новых явлений, невозможных в линейных кругах, и, в основном, заключается в основе функционирования устройства.
Несмотря на то, что математический аппарат анализа линейных алгебраических и дифференциальных уравнений очень развит, на практике достаточно часто прибегают к различного рода линеаризациям (по среднему значению токов, напряжений, мощности, вблизи рабочей точки и т.д.).
Это касается, например, утверждения, которое мы привыкли называть законом Ома, что есть на самом деле упрощенным правилом, полученным исследовательским путем, что в некоторых случаях, по крайней мере, для электрических цепей постоянного тока, позволительно получить приемлемые результаты.
Кроме того, положение о том, что напряжение на индуктивности пропорционально первой производной тока через индуктивность по времени, справедливо только в случае, когда материал сердечника имеет линейную характеристику; представление о пропорциональности напряжения на конденсаторе заряда на его пластинах базируется на предположении о том, что в диэлектрике величина вектора электрического смещения всегда пропорциональна величине вектора напряженности. Все указанные выше утверждения не выполняются для нелинейных электрических цепей.
Проиллюстрируем пример линеаризации квадратичной характеристики [1].
i=au2 (1)
Соотношение (1) нелинейно и никаким образом не может быть представлено как линейное. Поэтому представим напряжение U в виде суммы постоянной U0 и переменной ∆U составляющих.
Тогда уравнение (1) приобретет вид:

i=au2=a(U0+∆U)2=a(U02+2U0∆U+∆U2) (2)

Уравнение (2) включает постоянную составляющую I0=aU02, линейную составляющую i1=2aU0∆U и квадратичную составляющую i2=a∆u2.
Стремление линеаризировать все существенно нелинейные процессы является ошибкой. Целый ряд важных и принципиальных задач электротехники невозможно решить без учета нелинейных зависимостей, поскольку линеаризация или не в состоянии ответить на поставленные вопросы, либо дает ответ в совершенно неудовлетворительной форме, искажая физическое содержание явлений, имеющих место в кругу

. К таким явлениям принадлежат скачкообразные изменения амплитуды колебаний, возбуждения высших гармоник, кратных частоте входного сигнала, и субгармоник, захват частоты генератора и др.
Если электрическая цепь содержит нелинейные элементы, то есть является нелинейным, то необходимо знать их характеристики и апроксимационные зависимости, которые их адекватно описывают. При этом следует отметить, что вид аппроксимационной зависимости нелинейной характеристики определенным образом определяет выбор метода анализа математической модели, описывающей данную электрическую цепь с нелинейным элементом.
Например, аппроксимации с помощью экспоненциальных и логарифмических функций приводят к необходимости решения трансцендентных уравнений, решения которых в большинстве случаев, невозможно найти в общем виде.
Иногда, в зависимости от того, в каких условиях используется нелинейный элемент, режимов работы электрической цепи и того, какие именно особенности функционирования электрической цепи необходимо исследовать, одна и та же характеристика может быть аппроксимирована различными функциональными зависимостями. Например, для описания кривой намагничивания могут рассматриваться три основных случая [2]:
1. Индукция В и напряженность магнитного поля H не меняют знак (в случае процесса включения на постоянном токе).
2. Индукция В и напряженность магнитного поля Н могут изменять знак, но пределы их изменений принадлежат релеевской области кривой намагничивания (в некоторых типах магнитных усилителей).
3. Индукция В и напряженность магнитного поля Н могут изменять знак, но пределы их изменений не ограничены малыми величинами (установленные и не установленные процессы на переменном токе).
Если в случае 1 аппроксимационные зависимости могут быть как парными, так и нечетными функциями, то в случаях 2 и 3 - только нечетными функциями.
В общем, при выборе апроксимационных зависимостей для нелинейных характеристик нужно удовлетворять определенным требованиям [3]:
- возможность выявления свойств круга, вызывающих интерес в конкретном случае;
- необходимость получить достаточную точность (увеличение точности, как правило, требует использования более сложных зависимостей);
- простота аппроксимирующей функции и возможность проводить над ней необходимые для анализа математические операции;
- возможность делать выводы об изменении параметров аппроксимирующего выражения при изменении режимов работы цепи.
В качестве математических моделей работы нелинейных систем чаще всего используются нелинейные дифференциальные уравнения, которые получают на основе использования законов Кирхгофа. Такие дифференциальные уравнения являются более сложными для исследования, чем линейные, и для их анализа не пригодны такие известные и удобные методы как метод наложения (Суперпозиции), символический метод, метод интеграла Дюамеля, спектральный метод и др.
Поскольку существует лишь небольшое количество нелинейных дифференциальных уравнений, точное решение которых можно записать в явном виде, то при изучении нелинейных дифференциальных уравнений исследователи вынуждены использовать различные приближенные методы и развивать новые приближенные методы, которые можно применить для исследования новых классов нелинейных систем.
Иногда вообще нельзя применить приближенные методы и исследователи вынуждены использовать методы анализа нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях важно иметь представление о принципиальной возможности существования решений и их устойчивости, причем нужно учитывать, что среди всех решений, существование которых следует в результате использования математического аппарата, нужно выделить те из них, которые соответствуют физическому смыслу.
Итак, математические методы являются средством анализа моделей, адекватно описывающих процессы.
Методы анализа нелинейных электрических цепей разделяют на аналитические, численные, графические и комбинированные.
В последнее время графические методы используются только для предварительного анализа