Математические модели распространения болезней
Введение
Нет нужды спорить о том, что болезни, которые можно получить через половые связи, сегодня как никогда раньше распространились. Любому скептику достаточно посмотреть на статистику, которая все и доказывает.
Например, как говорится в книге про половые заболевания в Санкт-Петербурге, «статистика показывает, что 2014 году люди переболели болезнями, передаваемыми половым путем, даже всеми формами гепатита, в том числе и В, в количестве 98,3 на десять тысяч человек. В том же году женщины переболели болезнями малого таза в 64,9 случаях на десять тысяч человек. Получается, что здравоохранение засвидетельствовало 163,2 на десять тысяч человек заболеваний, передаваемых половых путем. Если сравнить с гриппом, то в том же году им заболело 412,4 человека на десять тысяч. Инфекциями кишечника переболело в то же время 18,1 на население в десять тысяч. Данная статистика показывает, что половыми заболеваниями страдают всего лишь в два раза меньше, чем гриппом, и только на порядок больше, чем кишечными заболеваниями. Подобное наблюдалось в населении в целом. Это не только молодежь, которым нужен секс. Это и дети, и пожилые люди. Если же говорить только о людях, которые могут быть сексуально-активными, то количество заболеваний подходит к количеству заболеваний гриппом. Если же говорить не о Санкт-Петербурге, а о Туве и Хакасии, то там заболеваемость превышает один процент населения»[1].
С помощью математической модели можно построить или смоделировать то, каким образом будет развиваться заболевание в конкретном случае. В частности, речь идет о заразных болезнях. Чаще всего математические модели нужны для прогнозирования СПИДа, как проблемы номер один. С помощью подобной модели можно просчитать не только скорость распространения болезни, но и вред, а также затраты, которые она нанесет России или другой стране за определенный период времени.
Еще моделирование помогает подойти разумно к профилактике, анализируя то, как раньше было с этой проблемой дело, что предпринимали для ее предотвращения, какие были результаты. Именно по этой причине, то есть для получения результатов вмешательства и невмешательства в личную жизнь человека используются модели.
«Есть основных два варианта моделей. Первая обработана на гонорее. Она называется SIS модель. Под ней понимается такое состояние человека, который не имеет никакого иммунитета. Значит, после выздоровления он может снова заболеть. Вторая модель носит название SIR, которая показывает, что излечиться нельзя. Поэтому исход один – смерть. Заболевание может быть разным. Не только гонорея. Получается, что в число заболеваемых постоянно прибывают новые члены. При этом число тех, кто умирает от болезни, примерно равно тому, сколько рождается. Поэтому число населяющих местность не меняется»[2]. Чаще всего вторая модель переходит в первую. Именно ею мы и воспользуемся в данной работе.
Как формируются математические модели
Прежде чем сформировать модель заболевания, следует провести тщательный анализ поведения заболевшего. То, сколько людей он способен заразить, пока не окажется в больнице или не выздоровеет, говорит о процессе распространения инфекции.
Если число, которое называют R – репродуктивное отношение инфекции, выше единицы, то это говорит, что эпидемия увеличивается. Если же оно ниже единицы, тогда эпидемия уменьшается. При этом количество больных может стать меньше, что приведет к спаду эпидемии, повысится иммунитет у остальных людей, хорошо поработал медицинский персонал. Любой из трех вариантов приводит к уменьшению эпидемии.
Если у нас есть десять человек, которые живут изолированно, и они легко могут заразиться друг от друга, то когда заражается один, то в течение месяца он заразит троих. По окончании месяца уже трое больных, первый выздоровел. Когда заканчивается второй месяц, уже семь человек болеет. Здесь работает следующая формула:
10 восприимчивых больных – 3 больных = 7 восприимчивых, то есть
R = 7/3 = 2.3
Когда будет заканчиваться третий месяц, то заболеет только три человека. Вот формула:
10 восприимчивы – 3 больных =7 восприимчивых, то есть
R = 7/3 = 2,3
Теперь цикл будет повторяться все снова и снова. Это доказывает, что эпидемия может нарастать и спадать независимо от медицинского персонала. А также нарастание количества общества, то есть увеличение популяции никак не ведет к уменьшению восприимчивости к заболеванию, скорее, наоборот.
«Как показала статистика, еще в 1909 году р. Россом было предложено использовать базовое репродуктивное число инфекции. Так называемое R0. Это число зависит от числа пациентов, которые могут заболеть от одного человека в то время, когда данная болезнь в данную популяцию вносится впервые. У нас, как мы отметили выше, оно равнялось трем. При числе превышающем единицу мы получим распространение инфекции вплоть до эпидемического равновесия. Как показывает SIS модель, оно появится, когда истощится возможность заражения» [3].
«Как показали Х. Хейтскот и Дж. Йорк в 1984 году, можно измерить уровень эпидемического равновесия, используя формулу:
P = 1/R0»[4].
Получается, что если взять приведенный выше пример, то 1 – 1/3 – 0,7. Именно этот результат мы получили, когда размышляли чисто логически.
Эпидемическое распространение заболевания
Аналитические модели получили самое широкое распространение. Обычно не учитываются эпидемиологические величины естественного характера, поэтому константы выбранные человеком не служат правильным аргументом распространения заболевания. Для этого есть простая формула:
R = b * c * D,
где R — количество заразившихся при половых контактах; b — вероятность передачи заболевания при половом контакте; c — количество половых партнеров; D — длительность заразного периода заболевания.
Из уравнения следует, что при R > 1 заболеваемость растет, при R = 1 — сохраняется на определенном уровне, а при R < 1 заболеваемость снижается, и при длительной тенденции, в конечном счете, данная инфекция исчезнет из популяции.
Конечно, эта формулировка течения эпидемии упрощенная, так как здесь изолируется популяция, тогда как на самом деле, она постоянно контактирует с другими.
Как можно предотвратить развитие ИППП? Во-первых, можно снизить вероятность передачи заболевания, то есть использовать безопасный секс
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. Во-вторых, уменьшить количество половых партнеров, в идеале сведя их до одного. В-третьих, просто на просто регулярно проверяться у врача-венеролога.
Рассмотрим нелинейную математическую модель, которая описывает распространение ИППП в популяции. Она представляет гипотетическую инфекцию, не передаваемую через рождение плода, не являющеюся той, что формирует иммунитет. В динамике диаграмма представлена двумя категориями:
инфицированных (X)
и неинфицированных, но потенциально восприимчивых к инфекции (Y).
Так можно увидеть две возможности распространения инфекции либо ее отсутствие. Стрелки указывают, как люди движутся из одного состояния в другое.
Функция dY/dt отражает характер изменения количества инфицированных (а значит, и заболеваемости) во времени. Потоки, показанные стрелками, вычисляются с помощью членов правой части уравнения. Члены уравнения, представляющие вход в данное состояние (стрелка, входящая в прямоугольник), имеют знак «плюс», а члены уравнения, представляющие выход из данного состояния (стрелка, выходящая из прямоугольника), — знак «минус».
Например, вход в неинфицированное состояние при рождении обозначен в нашем уравнении как B. Эта величина является функцией от размера популяции N и рождаемости каждого среднего члена популяции r.
B = r * N.
Если допустить, что размер популяции в целом остается неизменным, то тогда рождаемость r равна смертности µ,
B = µ * N.
Допустим, человек из категории неинфицированных X имеет c половых контактов в единицу времени. Тогда доля этих контактов, приводящих к заражению, является пропорцией инфицированного населения Y/N и вероятности заражения при каждом контакте инфицированного с неинфицированным β.
Частоту выздоровления примем, как константу частоты инфицирования v, не зависящую от длительности состояния инфицирования. Это предполагает, что количество инфицированных будет уменьшаться экспоненциально при средней продолжительности инфекции:
1 / (v + µ) (см. рисунок).
Предложенная модель может быть решена аналитически с таким равновесием переменных, где скорость изменений является нулевой. Одно состояние равновесия — отсутствие заболевания. Другое — эндемическое состояние, когда каждый случай инфекции приводит к новому заражению одного человека. Значение основного коэффициента воспроизводства инфекции R0, который здесь описывается как
R0 = c * β / (v + µ),
определяет, какое равновесие является стабильным. Если меньше, чем 1, то состояние отсутствия инфекции является устойчивым. Если он больше 1, то эндемическое состояние является устойчивым. Следует иметь в виду, что коэффициент действует в границах неинфицированной категории. Если распространенность заболевания растет, то контакты внутри инфицированной категории не приводят к появлению новых случаев инфекции. Количество новых случаев за время t зависит от основного коэффициента воспроизводства инфекции и от доли неинфицированного населения:
Rt = R0 * (X/N).
При стабильном состоянии эта величина равна 1. А поскольку доля инфицированных может быть выражена как
1 – X/N,
то можно преобразовать уравнение, получив эндемическую распространенность (долю инфицированного населения)
Y/N = 1 – 1/R0.
В результате формируются сложные и разветвленные сети взаимодействия, которые можно описать с помощью математического аппарата[11].
Модель Anderson иMay
Мы рассматриваем болезни, которые передаются половым путем. Поэтому ясно, что в число заболевших входит определенный круг людей. Получается, что это число зависит от того, сколько у человека половых партнеров, а также какова вероятность того, что человек заболеет, лишь один раз испытав половой акт. Также оно должно зависеть от времени жизни инфекции. В этом случае стоит обратить внимание на Р. Андерсона и Р. Мэя, которые провели исследование в 1986 году.
«Вот формула, которую они вывели:
R0=β*c*D,
где β – вероятность передачи инфекции при однократном половом сношении (или от одного партнера,
с – количество половых партнеров в течение определенного промежутка времени (обычно года) и
D – продолжительность заразного периода в тех же единицах времени.
Таким образом, инфекция поддерживается:
(1) высокой заразностью (высокой эффективностью передачи);
(2) высокой частотой смены партнеров (большим числом партнеров) и
(3) длительным течением заболевания»[5].
Неадаптивные модели
Рассмотрим, как выглядит формула регрессивной модели, которую мы формируем для неадаптивного распространения инфекции. Для этого воспользуемся временным рядом, учтя сезонность заболевания. Так в праздничные дни и в теплое время года ИППП распространяется сильнее. Вот что предложил Серфлинг:
где yˆt — оценка заболеваемости в момент времени t, αj и βj — параметры регрессии, степень полинома ν обычно равна единице, а θj — линейная функция времени t. Ее следует выбирать исходя из результатов спектрального анализа.
Обычно используют θj = = 2π jt/T, где T — период сезонности, например, 12 месяцев или 52 недели. Число гармоник κ редко превышает две.
Если доступна подневная статистика заболеваемости, модель Серфлинга дополняют индикаторными функциями Ij(t), позволяющими учесть неравномерность обращений за медицинской помощью в течение недели. Вот он ряд:
Здесь ηj — параметры регрессии, а Ij(t) равна единице, если t соответствует j-му дню недели и принимает нулевое значение в остальных случаях. Аналогично выделяют праздничные дни[12].
Адаптивные модели
Адаптивные модели тоже следует дополнить индикаторами, которые приводят к следующему ряду:
Здесь αj, ηj, ζ — параметры, Ij(t) и Ihol(t) — индикаторные функции дня недели и праздничного дня. При наличии необходимых данных целесообразно также применять адаптивные многофакторные модели [12].
Заразность ИППП
Рассмотрим, какова заразность инфекцией, которая передается половым путем. «Если не брать в расчет гонорею, то степень заразности крайне низкая
50% реферата недоступно для прочтения
Закажи написание реферата по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее
время!
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Задать вопрос
