Лекции уравнения

Введение

Волновой процесс – это процесс распространения колебаний в сплошной среде, при котором частицы колеблются около своих положений равновесия. Универсальной математической моделью, описывающей многообразные физические явления, является волновое уравнение, или уравнение плоских волн:
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.
С помощью него можно описать процессы различной природы, такие как поперечные колебания струны, продольные или крутильные колебания стержня, звуковые волны в жидкостях и газах, распространение электрических возмущений в линии без потерь, а также электромагнитные волны в непроводящих средах. В данной работе будет рассмотрена задача для волнового уравнения с начальными условиями (задача Коши) применительно к струне. Решение такой задачи находится с помощью метода Даламбера и представляет собой бегущую плоскую волну, которая распространяется вдоль горизонтальной оси с сохранением своего профиля.


1. Задача Коши для уравнения колебания струны
Под струной будем понимать тонкую упругую нить, которая может свободно изгибаться и менять свою форму. В положении равновесия струна расположена вдоль оси Ox. Если струну отклонить от начального положения и предоставить самой себе, или, не отклоняя, сообщить начальный импульс, струна начнет совершать колебания. Точки струны будут смещаться относительно оси Ox. Положим ux,t - отклонение от положения равновесия точек струны с абсциссой x в момент времени t. Тогда график функции ux,t при фиксированном t представляет собой профиль струны в данный момент времени. Задача состоит в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения любой точки струны от времени.
Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, при которых удлинением участков струны при ее изгибе можно пренебречь и натяжение T в каждой точке будет оставаться неизменным, T=T0.
Перейдем к построению математической модели колебаний струны. В ее основе лежит второй закон Ньютона: скорость изменения импульса равна равнодействующей всех приложенных к системе сил.
dPdt=F,
где P - суммарный импульс системы, F - равнодействующая приложенных к системе сил. В качестве механической системы будем рассматривать участок струны x1<x<x2 (рис. 1) Учитывая, что движение происходит в вертикальной плоскости, уравнение представляет собой проекции на ось Oy.
Запишем выражение для проекции суммарного импульса:
P=x1x2ρ∂u∂tdx, ρ-линейная плотность струны.
dPdt=ddtx1x2ρ∂u∂tdx=x1x2ρ∂2u∂t2dx.
Рис. 1.

Если на струну действует вынуждающая сила, то F=F1+F2, где
F1 - сила натяжения на концах участка, F2 – суммарная вынуждающая сила.
В проекциях на ось Oy будем иметь:
F1=T0sinα1-T0sinα2≈T0∂u∂xx=x2-∂u∂xx=x1=T0x1x2∂2u∂x2dx,
sinα1, sinα2 – углы между горизонталью и вектором сил натяжения T в точках x1 и x2 соответственно. В силу малости колебаний
sinα≈∂u∂x,
поэтому в уравнении заменим T0sinα1-T0sinα2 на приближенное значение:
T0∂u∂xx=x2-∂u∂xx=x1.
Для вынуждающей силы:
F2=x1x2Fx,tdx,
Fx,t – линейная плотность силы.
Подставляя выражения для
dPdt, F1, F2
в закон Ньютона, получим равенство:
x1x2ρ∂2u∂t2-T0∂2u∂x2-Fx,tdx=0.
Подынтегральное выражение тоже должно быть равно нулю:
ρ∂2u∂t2=T0∂2u∂x2+Fx,t.
Разделим обе части на ρ:
∂2u∂t2=T0ρ∂2u∂x2+Fx,tρ,
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2+fx,t, где
a=T0ρ- скорость распространения волны, fx,t= Fx,tρ.
Таким образом, получено уравнение в частных производных, которое называется волновым уравнением

. Оно описывает малые поперечные колебания струны, а также многие другие волновые процессы. Если на систему не действует вынуждающая сила, то fx,t=0 и получаем уравнение свободных колебаний струны:
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.
Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны. Представим очень длинную струну. Тогда колебания, образовавшиеся в средней части струны, не будут оказывать заметного влияния на колебания на концах. Если взять длинную натянутую веревку и сообщить ей колебания в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны достигнут концов и, отразившись, пойдут обратно. При принятых допущениях мы не учитываем влияние концов струны, то есть отраженных волн. Поставим задачу для волнового уравнения с начальными условиями:
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2 , t>0,-∞<x<+∞,ux,0=φx, utx,0=ψx.
Здесь φx – начальное смещение, ψx – начальная скорость точек струны. Начальные условия вполне однозначно определяют колебания бесконечной струны. Обратим внимание, что краевые условия на функцию ux,t не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.


2. Формула Даламбера
Рассмотрим задачу с начальными условиями (задачу Коши) для волнового уравнения:
utt=a2uxx ;
ux,0=φx, utx,0=ψx
Уравнение характеристик волнового уравнения:
dx2-a2dt2=0.
Оно распадается на два уравнения:
dx-adt=0, dx+adt=0.
Тогда характеристиками являются два семейства прямых:
x-at=C1, x+at=C2.
Перейдем к новым переменным:
ξ=x-at, η=x+at.
Проведем преобразования с использованием новых переменных:
ut=uξξt+uηηt=-auξ+auη=auη-uξ;
utt=auξηξt+uηηηt-uξξξt-uξηηt=a2uξξ-2uξη+uηη;
ux=uξξx+uηηx=uξ+uη;
uxx=uξξξx+uξηηx+uηξξx+uηηηx=uξξ+2uξη+uηη.
Здесь учли, что ξt-a, ηt=a, ξx=ηx=1.
Теперь уравнение колебаний можно представить в новых переменных:
uξη=0.
Найдем общий интеграл последнего уравнения.
uηξ,η=gη,
где gη зависит только от η. Интегрируя это равенство по переменной η при фиксированном ξ, получим
uξ,η=gηdη+f1ξ=f1ξ+f2η.
Функция
ux,t=f1x-at+f2x+at
является общим интегралом волнового уравнения.
Далее необходимо удовлетворить начальным условиям:
ux,0=f1x+f2x=φx;
utx,0=-af1'x+af2'x=ψx.
Обозначим аргументы функций f1 и f2 через ζ.
f1ζ+f2ζ=φς,
-f1ζ+f2ζ=1aζ0ζψzdz+C,
ζ0 и C – постоянные .
Вычитая и складывая полученные равенства, получим:
f1ζ=12 φς-12aζ0ζψzdz-C2
f2ζ=12 φς+12aζ0ζψzdz+C2.
Подставляя найденные выражения в формулу для ux,t
ux,t=f1x-at+f2x+at
ux,t=12φx-at+φx+at+12ax-atx+atψzdz.
Полученное соотношение называется формулой Даламбера. Оно определяет решение задачи Коши для бесконечной струны.
Проиллюстрируем свойства бегущей волны и применение формулы Даламбера на примерах.
Пример 1.
Найдем решение задачи для волнового уравнения
∂2u∂x2=∂2u∂t2,
если заданы начальные условия
ux,0=x, ∂ux,0∂t=0.
Имеем начальное отклонение, равное x, и начальную скорость точек, равную 0, скорость a=0.
ux,t=φx-at+φx+at2;
ux,t=x-t+x+t2=x.
Итак, смещение u=x в любой момент времени t.
Пример 2.
Найдем решение уравнения
∂2u∂x2=a2∂2u∂t2
при начальных условиях
ux,0=0, ∂ux,0∂t=x3.
В этом случае начальное смещение нулевое, а скорость точек ψx=x3