Конечно-разностные методы решения задач однофазной фильтрации. Дискретизация по времени и по пространству.
Введение
Математическое моделирование течения жидкостей и газов в природных коллекторах связано с необходимостью расчета в сложных геометрических областях, как следствие, метод конечных элементов является основным инструментом в их численных исследованиях.
Теоретические основы математического описания движения жидкостей и газов в пористых средах заложены в трудах.
Базовые математические модели фильтрации флюида включают уравнение неразрывности и закон Дарси.
После дискретизации задачи методом конечных элементов наступает этап решения системы линейных уравнений. Для каждой задачи итерационный метод и предобуславливатель для вычислений систем уравнений выбираются индивидуально.
Особую сложность представляет решение трехмерной задачи. Как правило, при решении таких нестационарных задач нужно вычислять в каждый момент времени большую систему линейных уравнений, что практически вынуждает решать ее параллельно на нескольких процессах.
Основная часть
Течение однофазной жидкости в пористой среде описывается законом сохранения массы (уравнением неразрывности) и законом Дарси
где - пористость среды,
- плотность,
k - коэффициент проницаемости пористой среды,
- коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости,
р - давление,
g - ускорение свободного падения
z - вектор, соответствующий вертикальной координате.
В данной работе мы рассматриваем процессы фильтрации несжимаемой жидкости в слабосжимаемом коллекторе, т. е. р=const и
где сг - коэффициент сжимаемости коллектора.
Таким образом, для давления запишем следующее параболическое уравнение:
Уравнение (4) дополним граничными условиями второго рода (Неймана)
и начальным условием
где n - внешняя нормаль к границе ,
Гд - внешняя граница области, исключающая все скважины,
Гi - граница i-й скважины,
Nq - количество скважин.
Функция q(t) в граничном условии (6) - приток флюида, приходящийся на единицу поверхности ствола i-й скважины.
Аппроксимация по времени и пространству
Для аппроксимации по времени сначала построим равномерную сетку
и используем обозначение
При переходе с одного временного слоя на другой используем чисто неявную разностную схему по времени для уравнения (4)
с начальным условием
Для дискретизации по пространственным переменным используем метод конечных элементов
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. Для записи вариационной постановки задачи умножим уравнение (8) на тестовую функцию V и проинтегрируем по области
Далее, используя формулу интегрирования по частям для оператора Лапласа с учетом граничных условий (5)-(6), получим
В силу условий (6) на границах скважин получаем
где - пространство Соболева, состоящее из функций V таких, что имеют конечный интеграл в
В методе конечных элементов решение представленной задачи ищем в виде линейной комбинации заданных базисных функций
где - стандартные линейные базисные функции, определенные в (разбиение области О на конечные элементы) и N - количество узлов сетки.
Тогда уравнение (11) представим в следующей матричной форме:
где
Таким образом, на каждом временном шаге решаем систему линейных уравнений вида
с матрицей размерностью NxN
Численное моделирование в двумерной постановке
В данной главе рассмотрим численное решение задачи (4)-(7) в двумерной многосвязной области (рис. 1). Область является квадратной со сторонами по 4 км и радиусами скважин, равными 0,1 м.
Для исследования влияния шага по пространству на решение задачи решим задачу на разных пространственных сетках (табл. 1). Для этого построим четыре разные сетки и сетку с названием mesh 0 примем за эталонную, т. е. решение на этой сетке сравним с решениями на остальных сетках в каждый момент времени. Норму относительной погрешности вычислим в пространствах L2(Q) по формулам
где p (x,t) - решение на эталонной сетке.
Таблица 1
Сетки с разными количествами узлов и элементов
Название сетки mesh 0 mesh 1 mesh 2 mesh 3
Количество узлов 186046 31827 7931 1087
Количество элементов 368540 62242 15150 2062
Рис. 2. Сетки из табл. 1
Из рис. 3 видно, что погрешность более четко выделяется в пространстве Н(Ц) и то, что сетка mesh 2 является оптимальной, т. к. дальнейшее сгущение приводит к незначительным уменьшениям погрешности с учетом времени, которое тратится на вычисления на ЭВМ. В дальнейших исследованиях все задачи в двумерной постановке решим на сетке mesh 2.
Для исследования шага по времени решим задачу со следующими разными временными шагами:
эталонный шаг возьмем tau0, чтобы сравнить ее с остальными
50% реферата недоступно для прочтения
Закажи написание реферата по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее
время!
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
