История развития математического анализа

Введение

Математический анализ представляет собой совокупность наук, общим предметом изучения которых являются функции переменных величин. Два с половиной века назад Л. Эйлер писал, что весь «анализ бесконечных» вращается вокруг переменных и их функций. С тех пор понятие функции было широко обобщено, равно как и понятие инфинитезимальных, то есть бесконечно малых и бесконечно больших величин, но слова Эйлера остаются в силе даже сегодня.
Актуальность выбранной темы заключается в том, что Математический анализ ведет свою историю с XVII в. Как самостоятельная теория, она возникла в работах Ньютона и Лейбница, была развита в работах И. Бернулли, Л. Эйлера, Дж. Лагранжа, О. Коши, К. Вейерштрасса и многих других математиков XVIII и XIX веков. История идей математического анализа была написана с XVIII века.
Цель работы – тщательное и всестороннее изучение истории возникновения и развития математического анализа.
Для реализации поставленной цели необходимо разрешить следующие задачи:
- проанализировать развитие математического анализа, раскрыв предпосылки его становления и развитие.
- исследовать эпоха новой математики, изучив выдающиеся имена, внесшие вклад в становление математического анализа.
Теоретическую основу изучения выбранной темы составили научная и учебная литература отечественных авторов.


1 Развитие математического анализа: предпосылки, зарождение, развитие
Первые представления о количественных отношениях и простых формах относятся к 100 - 50 веку до нашей эры. Это период зарождения математики.
Ясное понимание положения математики, как особой науки, имеющей собственный предмет и метод относится к периоду элементарной математики. Оно охватывает временной интервал от 6 века до нашей эры до 16 века нашей эры - школа Пифагора, «начала» Эвклида, теория Архимеда [2].
С именем Пифагора Самосского связано слишком много разноречивых легенд, чтобы можно было уверенно судить о его личном вкладе в философию и науку, но школа, основанная им во второй половине VI в. до н. э., наложила печать на весь дальнейший прогресс математики [8, с. 5].
Два пункта должны быть особенно подчеркнуты, притом вовсе не относящиеся к открытию так называемой теоремы Пифагора, которая вполне могла быть заимствована извне и только впервые доказана в общем случае пифагорейцами. Это, прежде всего концепция математики как дедуктивной науки, предметом которой служат отвлеченные геометрические фигуры и числа — вклад пифагорейцев в арифметику натуральных чисел, их отношений и пропорций весьма внушителен.
Это, далее, убеждение в том, что во Вселенной господствуют математические закономерности, частью геометрические, частью арифметические, выражающиеся целыми числами и их отношениями [8, с. 5].
Математизация естествознания восходит к пифагорейцам, понимавшим ее, однако, еще в весьма узком смысле. Несостоятельность пифагорейской трактовки количественных закономерностей Вселенной, недостаточность арифметики для их познания, обнаружились не позднее середины в. до н. э., когда в самой школе Пифагора было доказано — в предположении непрерывности — существование несоизмеримых отрезков. Это имело большое значение для всего последующего развития инфинитезимальной математики [8, с. 5].
До XIX века математика считалась незыблемой. Она развивалась, появлялись новые разделы, понятия и теории, но основа была постоянной. Этой основой являлось гениальное творение Евклида «Начала» (Александрия, 3 в. до н. э.), в котором были собраны все математические знания греков и их предшественников.
По «Началам» Евклида обучались многие поколения математиков: Коперник, Галилей, Паскаль, Ньютон, Ломоносов, Лейбниц. Да и современные школьные учебники по алгебре и геометрии – это, в значительной мере, адаптированные для современного читателя и известные древним грекам утверждения и доказательства, являющиеся эталоном простоты и логичности [7, с. 2-5].
Кроме того, в «Началах» были заложены те идеи, которые были «переоткрыты» и развиты много веков спустя (например, теория иррациональных чисел).
«Начала» состоят из 13 книг, содержание которых можно охарактеризовать следующим образом:
1 – условия равенства треугольников, соотношения между углами и сторонами, свойство параллельности прямых и его следствия;
2 – построение квадрата, равновеликого любому многоугольнику;
3 – окружности, их взаимное расположение, углы, вписанные в окружности;
4 – многоугольники, вписанные в окружности и описанные вокруг них;
5 – теория пропорций;
6 – подобные многоугольники;
7, 8, 9 – арифметика в геометрической интерпретации;
10 – основы теории иррациональных величин;
11, 12 – начала стереометрии;
13 – правильные многогранники [7, с. 2-5].
Изложение в «Началах» является дедуктивным, основанным на силлогизмах. При изучении каких-либо объектов сначала дается определение (например, «точка на плоскости – это то, что не имеет длины и ширины»).
Определив объект, Евклид излагает постулаты – утверждения, связанные с определенным объектом, не доказуемые в рамках данной теории и принимаемые за истинные. Примером постулата может служить знаменитый «Пятый постулат», связанный со свойством параллельности: «всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 180, эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше 180» [7, с. 2-5].
Вводятся аксиомы, регламентирующие операции с объектами. Примером аксиомы может быть следующая: «если A=B и BC, то AC».
Аксиомы имеют более общий характер, чем постулаты, и могут иметь более широкое применение, чем применение для работы с определенным объектом. После того, как введены определения, постулаты и аксиомы, на их основе формулируется и доказывается предложение. Предложение в «Началах» имеет канонический вид, знакомый нам со школы: «дано…., требуется доказать…». Доказательство проводится строго в рамках предложенных постулатов и аксиом.
Схема построения «Начал», считавшаяся идеальной, содержала, тем не менее, недостатки, признававшиеся математиками и философами. В самой основе этой схемы лежат определения, данные с помощью некоторых понятий (например, в определении точки на плоскости, приведенном выше, есть понятия «длина» и «ширина»). Но кто определит сами эти понятия, участвующие в определении? И где граница определений? [7, с. 2-5].
Сами греческие математики, видимо, считали первоначальные понятия интуитивно очевидными. Кроме того, вставал вопрос о «существовании». Так, еще Аристотель отмечал, что определение еще не влечет существования определяемого объекта. К началу XIX века накопились вопросы к классической математике. Она уже не казалась бесспорной. Многим казалось, например, что пятый постулат – это не постулат, а утверждение, которое может быть доказано на основе остальных постулатов, аксиом и предложений. Были попытки таких доказательств, но они не были успешными [7, с. 2-5].
К созданию математического анализа ученые XVI и начала XVII в. подходили с разных сторон. Труды Евклида, а также труды Архимеда, дважды переведенные на латынь итальянцами Ф

. Мавролико (1494—1575) и Ф. Коммандино (1509—1575), явились для многих исходными. Оба итальянских ученых овладели античным методом исчерпывания и могли применять его к новым задачам. Однако громоздкость античных доказательств в эпоху поиска универсальных математических приемов, расцвета алгебры и приближенных вычислений почти сразу стала восприниматься как серьезное препятствие. Требовалось упростить метод, а для этого ввести новые понятия и установить общие их свойства [8, с. 14].
Сказанное относится и к теории пропорций Евдокса — Евклида, которая нуждалась в сближении с арифметикой действительных чисел. Руководствуясь этими целями, итальянские математики, а за ними и другие встали на путь выделения общих целей и схемы античных форм предельного перехода.
Одним из первых сделал это римский профессор Л. Валерио (1552—1618) в труде о центрах тяжести), продолжившем изыскания Коммандино [8, с. 15].
Валерио открыто писал, что намерен сообщить приемам своих предшественников прямой и общий характер. Он раз и навсегда устанавливает, что разность между площадями вписанной в сегмент выпуклой плоской кривой и описанной вокруг нее ступенчатых фигур, состоящих из равновысоких параллелограммов, может быть сделана меньше любой данной площади, если взять достаточно малой их высоту. Другая общая теорема гласит (в нашей терминологии): если члены двух монотонных сходящихся последовательностей (a} и (b„} находятся в постоянном отношении, то в том же отношении находятся и их пределы. Ни явного определения предела, ни особого термина для этого понятия у Валерио еще не было [8, с. 15].
Ограничение монотонными последовательностями, соответствующее традиционным процедурам аппроксимации фигур, удержалось в теории пределов до конца XVIII в. Конкретные задачи, решенные Валерио, особого интереса не представляют.
Аналогичные идеи развивал в своем «Геометрическом труде», законченном в 1629 г., но увидевшем свет только в 1647 г., фламандец Григорий из Сен Венсана (1584—1667), учившийся в Риме и затем преподававший математику в Лувене, Праге и других городах. Регулярно применяя метод исчерпывания, он разъяснил общую структуру его применения на примере вписывания в два тела множества очень тонких параллелепипедов, подчеркнув, что их число можно увеличивать так, чтобы они исчерпали оба тела, отсюда и произошло выражение «метод исчерпывания». «Геометрический труд» оказал влияние на многих математиков.
Еще раньше применил «метод исчерпывания» С. Стевин в «Началах гидростатики» (1586) при вычислении давления воды р на боковую стенку заполненного ею куба со стороной, равной футу [8, с. 15].
Стевин находил значение р, разделяя боковую стенку на все возрастающее число все более узких горизонтальных полос, оценивая снизу и сверху давление на каждую полоску, соответствующее ее нижней и верхней границам, и оценивая численно снизу и сверху суммарное давление. Обоснование результата р=весу 1/2 куб. фута воды представляет собой, с нашей точки зрения, доказательство единственности предела последовательности таких сумм. Позднейшие математики принимали уже без доказательства тот факт, что две величины, разнящиеся на величину, меньшую любой данной, между собой равны [8, с. 15].
Весьма своеобразен был метод введения логарифмической функции Непером, придуманный им не позднее 1594 г., но опубликованный вместе с первыми таблицами логарифмов синусов и косинусов в 1614 г.; его теоретическое обоснование увидело свет еще позднее в 1619 г. Определение логарифма у Непера опиралось на сопоставление отрезков, пробегаемых двумя точками, движущимися одна равномерно, а другая с некоторой переменной скоростью вдоль двух параллельных прямых, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры.
Здесь нет нужды воспроизводить длинное кинематическое определение самого Непера, выдержанное в духе оксфордской (может быть, и парижской) университетской школы XIV столетия.
Неперов логарифм вовсе не есть, как часто думают, натуральный. Термин «натуральный логарифм» ввели позднее П. Менголи (1659) и затем Н. Меркатор (1668).
Свойства логарифмов Непера несколько отличаются от нам привычных, так как его логарифм 1, очевидно, не равен нулю, нулю же равен логарифм полного синуст, т. е. 107 , что представляло известные удобства в тригонометрических расчетах того времени [8, с. 15].
Сам термин «логарифм» принадлежит Неперу.
Вскоре появились и десятичные логарифмы чисел, необходимость в которых сознавали сам Непер и составитель первой их таблицы Г. Бриггс (1561—1631) [8, с. 15].Введение

логарифмической функции, одной из основных трансцендентных, явилось важным успехом не только вычислительной математики, но и крупной вехой на пути формирования исчисления малых.
В геометрически-кинематической форме она была определена, по существу, некоторыми дифференциальными уравнениями, а вычисление неперовых таблиц явилось первым по времени их приближенным численным интегрированием. Связь логарифмов с квадратурой гиперболической площади и их разложением в ряды была установлена позднее.
2 Эпоха новой математики: выдающиеся имена в математическом анализе
Границей, от которой ведется отсчет эпохи новой математики, стал XVII век. Именно в XVII веке появился математический анализ. Предтечами было исчисление бесконечно малых в работах Валлиса, Грегори, Барроу. К концу XVII в. Исааком Ньютоном, Готфридом Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, что составляет основу математического анализа и даже математическую основу всего современного естествознания.
Рассмотрим более подробно развитие математического анализа начиная с XVII века.
К концу XVII в. сложилась ситуация, когда в математике были накоплены знания о развязке некоторых важных классов задач (например, задачи о вычислении площадей и объемов нестандартных фигур, задача проведения касательных кривых), а также появились методы решения различных частных случаев. Оказалось, что эти задачи тесно связаны с задачами описания некоторого (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности вычисления его мгновенных характеристик (скорости, ускорение в любой момент времени), а также нахождение пройденного пути при движении, что происходит с заданной переменной скоростью. Решение этих задач было необходимо для дальнейшего развития физики, астрономии, техники [1].
К середине XVII в. в работах Рене Декарта и Пьера Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), которые позволили сформулировать различные по своему происхождению геометрические и физические задачи общим языком чисел и числовых зависимостей (числовых функций).
Все эти обстоятельства привели к тому, что в конце XVII ст. двум ученым Исааку Ньютону и Готфрид Лейбниц, независимо друг от друга, удалось создать математический аппарат для решения указанных задач. В своих трудах эти ученые собрали и обобщили некоторые результаты предшественников начиная от Архимеда и заканчивая своими современниками, такими как Бонавентура Кавальери, Блез Паскаль, Джеймс Грегори, Исаак Барроу