История появления алгебры как науки.

Введение

Известный историк математики Ивор Граттан-Гиннес еще в 1990-х годах ХХ ст. с сожалением отмечал, что история математики является классическим примером того, когда предмет исследования «слишком математический для историков и слишком исторический для математиков», к тому же он «слишком историчен и слишком математичен для современных философов науки». В то же время, по мнению автора, «специалисты в области математического образования более склонны воспринимать историю всерьез, чем профессиональные математики» [6]. В этой связи история математики в целом, также как и ее отдельных разделов, и в частности алгебры, остается недостаточно изученной. Однако, следует отметить, что обобщение публикаций по вопросам истории алгебры свидетельствует об оживлении интереса к вопросам появления и развития алгебры как науки. За последние несколько десятилетий опубликован ряд фундаментальных статей и монографий по конкретным временным периодам, культурам и аспектам истории алгебры, и даже были попытки популяризации этих материалов. Причиной повышенного интереса к вопросам становления и развития алгебры зачастую является стремление сохранить математическое наследие и отследить влияние алгебры на развитие цивилизации. Безусловно, знание истории способствует более глубокому пониманию взаимосвязи алгебры как науки с процессами развития науки и техники, что подтверждает актуальность настоящего исследования. Однако, до настоящего времени все еще нет работы, которая бы всесторонне синтезировала современные исследования по этой теме, чтобы сделать ее доступной как для математиков, так и для преподавателей математики.
Целью настоящей работы является изучение основных этапов появления алгебры как науки на основе обобщения и систематизации исторических фактов и событий.
Общие сведения из истории появления алгебры как науки

Алгебра была частью математики с древних времен, но только в XX веке она сыграла решающую роль в других областях математики. Алгебраическая теория чисел, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология теперь бросают большую тень на их родительские дисциплины теории чисел, геометрии и топологии. Алгебраическая топология породила теорию категорий, а также алгебраический подход в математике, который сейчас является доминирующим способом мышления практически во всех областях.
Приступая к изучению истории появления алгебры как науки, целесообразно обратиться к определению понятия алгебры, поскольку в настоящее время немногие учебники дают определение предмета, хотя так было не всегда.
Как известно, появление термина «алгебра» связано с научным трудом «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр уаль-мукабаля» — «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», автором которого явился один из родоначальников данной математической дисциплины – Мухаммед ибн Муса Аль-Хауаризмий (Аль-Хорезми). Знаменитый трактат арабского математика посвящен решению линейных и квадратных уравнений и слова «аль-джабр» и «аль-мукабаля» в названии научной работы означали две простейшие алгебраические операции при решении таких уравнений. Термин «алгебра» произошел от слова «аль-джабр», означающего операцию отрицательных членов из одной части уравнения в другую для получения положительных членов в обеих частях и его буквальный смысл - «восполнение». «Аль-мукабала» означает «противопоставление», то есть приведение подобных членов в обеих частях уравнения [3]. Трансформировавшись в европейских переводах, слово «аль-джабр» превратилось в современную «алгебру».
По словам самого аль-Хорезми, целью его книги было научить самым простым и полезным действиям в арифметике, таким, которые постоянно требуются человеку «в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях, или при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях, а также в других случаях» [5]. Хотя по этому определению не скажешь, что речь идет об алгебре, первая часть книги все же посвящена обсуждению того, что сегодня принято называть алгеброй.
Однако, как показывает история, предметом изучения алгебры являются не только линейные и квадратные уравнения. По этой причине, по мере становления данной математической науки появлялись и более емкие определения понятия «алгебры».
Так, в нестрогом, интуитивном смысле под алгеброй принято понимать некое общее правило, с помощью которого решение любой проблемы определенного класса может быть найдено чисто механически и «без всякой изобретательности», при условии, что это решение существует [1]. Нестрогое понятие алгебры возникло сравнительно давно (в IX веке) и в дальнейшем подвергалось уточнениям.
В частности, более двух столетий назад, в 1748 году, Колин Макларин в своем трактате по алгебре написал «Алгебра – общий метод вычислений с помощью определенных знаков и символов, которые были придуманы для этой цели и были удобны. Он называется Универсальной арифметикой и переходит к операциям и правилам, аналогичным тем, что описаны в Общей арифметике, основанной на тех же принципах» [4]. В 1770 году Леонард Эйлер в своем научном труде отметил: «Алгебра была определена как наука, которая учит, как определять неизвестные величины с помощью известных величин» [6]. Как видим, в 18 веке алгебра определялась как «обобщенная арифметика» и предусматривала определение неизвестных с помощью знаков и символов, а также путем применения некоторых четко определенных методов вычислений.
Более точное математическое определение алгебры потребовалось в 30-е годы XX века и было обусловлено существованием дошедшего и до Новейшего времени заблуждения о том, что окончательным решением любой поставленной задачи должно быть её алгоритмическое решение. Поэтому все усилия должны быть направлены на поиск алгебраического решения, а не на доказательство его отсутствия. Представителями такого подхода стали Декарт, Лейбниц и Гильберт. Декарт применил алгебраические методы к геометрии, что позволило существенно продвинуться на пути алгоритмизации геометрии, в результате было выделено направление аналитической геометрия)

. Научные поиски и эксперименты Лейбница были посвящены уточнению и решению алгоритмических проблем. Ученый преследовал цель разработать всеобщий метод, который позволит решать любую задачу. В одном из писем Лейбниц писал: «Это открытие (всеобщий алгоритм), если только Бог судил мне его закончить, было бы матерью всех моих открытий...» [2]. Гильбертом были формулированы глобальные математические задачи, а также предложены способы алгоритмического их решения. Убеждение ученого в универсальности алгоритмических методов было впервые поставлено под сомнение Гёделем, который в 1931 г. доказал алгоритмическую неразрешимость некоторой математической задачи, а также ввел точное математическое определение алгебры [3].
Спектр тем, изучаемых алгеброй, охватывал: решения линейных уравнений, квадратичные координаты и системы линейных и (или) квадратичных уравнений и манипуляции с полиномами, матрицы, функции, графики и многие другие темы. Таким образом, очевидно, что «алгебра» охватывает большую область математики.

Периодизация этапов становления алгебры

В научных трудах по истории алгебры выделяется три этапа в ее историческом развитии: риторический этап, синкопированный этап и символический этап. Под риторикой подразумевается стадия, где все утверждения и аргументы сформулированы словами и предложениями. При риторическом способе изложения символика не применяется. Таким способом изложения математических алгоритмов пользовались многие ученые вплоть до нового времени [2].
На синкопированной стадии отмечается появление аббревиатур, которые используются при работе с алгебраическими выражениями. При это математические выражения записывались словами, однако, часто встречающиеся действия и понятия заменялись символами [2]. Такой способ изложения используется, например, в работах Диофанта, и находил применение среди западноевропейских математиков до середины 17 века [4].
И, наконец, на символическом этапе произошла полная символизация – все числа, операции, отношения получили выражение через набор легко узнаваемых символов, а манипуляции с символами происходят в соответствии с хорошо понятыми правилами [2]. Символический способ изложения математических выражений был разработан во второй половине 16 века французским ученым Виетом и получил распространение спустя почти сто лет. Хотя значительно ранее символический способ изложения уже был известен индийским математикам [3].
Эти три этапа, безусловно, один из способов взглянуть на историю алгебры. Однако, как отмечают отдельные исследователи, помимо трех обозначенных этапов выражения алгебраических идей существует четыре концептуальных этапа, которые следует выделить наряду с этими изменениями в выражениях.
Концептуальные этапы – это геометрический этап, в котором большинство концепций алгебры являются геометрическими; алгоритмический (статический) этап решения уравнений, где целью является найти числа, удовлетворяющие определенным отношениям; этап динамической функции, типичный для оперативной символики, охватывающий решения уравнений для кривых и приложения к физике; и, наконец, абстрактная стадия, в которой изучаются различные алгебраические структуры и числовые системы. Естественно, как концептуальные, так и предыдущие три этапа многократно пересекаются между собой [5].
Таким образом, обозначенные подходы к периодизации истории становления и развития алгебры как науки представляют интерес, поскольку позволяют увидеть, как они обособлены в одних периодах и неразделимы в других. Вместе с тем, в ходе изучения истории появления алгебры как науки исследователи прежде всего уделяют внимание хронологии возникновения новых алгебраических идей – методов, способов решения задач и т.д. В этом контексте в истории становления алгебры принято выделять ряд временных периодов, начиная от древних времен.
Так, имеются исторические свидетельства того, что первые алгебраические задачи были решены учеными древнего Вавилона и Египта. До наших дней сохранились папирусы Ахмеса, датированные 13 в. до н.э., в которых представлены решения одиннадцати задач с помощью уравнений с одним неизвестным. В древнем Вавилоне для решения математических задач использовались системы двух уравнений с двумя неизвестными, а также квадратные и кубические уравнения, системы квадратных уравнений с двумя-тремя неизвестными. В древней Греции алгебра не была имела большого применения, однако, именно греческим математиком Диофантом Александрийским в 250 г. н.э. был создан трактат «Арифметика», где нашли отражение примеры решения задач с помощью уравнений первой и второй степени. Поскольку Диофант не знал отрицательных чисел, то при решении квадратных уравнений в качестве ответа использовал только положительный корень. При изложении математических рассуждений Диофант использовал некоторую символику [3].
Значительный вклад в появление алгебры внесли индийцы, которые во 2 в. н.э. использовали иррациональные числа, а в 7 в. н.э. в полном объеме владели теорией уравнений первой и второй степеней и одним неизвестным, использовали отрицательные числа, при решении квадратных уравнений определяли два корня, хотя второй корень считали ненужным.
О появлении алгебры в древнем и средневековом Китае свидетельствуют труды, посвященные вопросам применения алгебры. Наиболее известным среди них стала «Математика в девяти книгах», датированная 2-3 вв. н.э. В 8 в. н.э. китайский ученый-математик Цинь Цзю-Шао обнародовал свой труд «Девять отделов искусства счета», в котором показаны численные решения уравнений до четвертой степени. Далее продолжительное время алгебра в Китае алгебра почти не развивалась, возобновление наступило лишь в 19 в., когда получили распространение европейские методы исследования [4].
Примерно к 9 в. н.э. относятся первые значимые результаты изучения алгебры в странах Арабского халифата