Гидродинамический пограничный слой

Введение

При любом режиме движения частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твердой поверхности, как бы прилипают к ней. В результате вблизи обтекаемой поверхности под действием сил вязкого трения образуется плоский слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость жидкости изменяется от нуля (на поверхности тела) до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости называется гидродинамическим пограничным слоем.
На участке поверхности, как правило, течение жидкости ламинар­ное (ламинарный пограничный слой). По мере удаления от входной кромки толщина гидродинамического пограничного слоя увеличивается. Утолщение погра­ничного слоя происходит с увеличением вязкости жидкости. Рост толщины пограничного слоя приводит к уменьшению его устойчивости и на определенном расстоянии от входной кромки он переходит в турбулентный.

1 Физическая картина обтекания твердых тел
Как известно, в гидроаэромеханике жидкостью называется сплошная среда, в которой в состоянии равновесия всякое сопротивление деформации сдвига равно нулю. С этой точки зрения различие между жидкостью и газом как агрегатными состояниями вещества состоит только в том, что жидкость может иметь свободную поверхность и имеет весьма высокое значение модуля объемной упругости, в связи, с чем в задачах гидромеханики может считаться несжимаемой.
При обтекании твердых тел газом со скоростями, составляющими менее 20-30% скорости звука, влияние сжимаемости газа проявляется лишь в малой степени. Поэтому физическая картина обтекания твердого тела в безграничной газовой среде (при таких скоростях) оказывается такой же, как и в безграничной жидкой среде. И в аэрогидродинамике под термином «несжимаемая жидкость» понимается как реальная жидкость, так и газ, движущийся со скоростями, значительно меньшими скорости звука.
В результате взаимодействия молекул жидкости или газа с поверхностью обтекаемого тела, непосредственно прилегающие к нему частицы среды, за редким исключением, как бы «прилипают» к обтекаемой поверхности и их скорость относительно этой поверхности оказывается равной нулю. По мере удаления от обтекаемой поверхности относительная скорость частиц жидкости возрастает, т.е. возникает градиент скорости.
Вследствие переноса импульса при хаотическом тепловом движении молекул между частицами (слоями) среды, движущимися с различными скоростями, возникает сила взаимодействия (сила внутреннего трения), определяемая формулой И. Ньютона:

(1.1)

где - площадь поверхности соприкасающихся слоев среды;
- местная скорость движения среды;
- координата, направленная по нормали к вектору этой скорости;
- коэффициент динамической вязкости среды.
При этом для газов и большинства жидкостей коэффициент вязкости в условиях ламинарного (слоистого) течения не зависит от градиента скорости .
Многие особенности физической картины обтекания твердого тела зависят от ряда критериев подобия, основным из которых для несжимаемой жидкости является число Рейнольдса

(1.2)

где - характерная скорость движения жидкой среды относительно обтекаемого тела;
- характерный линейный размер обтекаемого тела;
- плотность жидкости;
- кинематическая вязкость жидкости.
Число Рейнольдса можно трактовать как отношение сил инерции в потоке жидкости к силам вязкости (внутреннего трения) [1]. При очень малых числах Рейнольдса , когда силы вязкости превалируют над силами инерции, наблюдаются так называемые «ползучие» течения, при которых движение жидкости носит полностью слоистый характер, причем прилегающие к обтекаемому телу слои изгибаются в соответствии с формой контура тела (рис. 1.1) без отрывов потока от его поверхности.
При малых числах Рейнольдса течение в общем сохраняет слоистый характер, но безотрывное обтекание наблюдается далеко не у всех тел. Так, например, картина течения вокруг пластины или кругового цилиндра, изображенная на рис. 1.1, имеет место только в первые моменты после начала обтекания, а затем за ними возникает интенсивное вихревое движение, вызванное отрывом потока от обтекаемой поверхности.
В важном для прикладных задач диапазоне чисел Рейнольдса физическая картина обтекания твердых тел может дополнительно усложняться тем, что при числах , превышающих некоторые критические значения, слоистый (ламинарный) характер течения нарушается. Упорядоченное движение частиц жидкости сменяется беспорядочным, хаотическим - поток становится турбулентным.

Рисунок 1.1 - «Ползучие» течения при весьма малых числах . Фотографии подкрашенных струй в жидкости: а) обтекание кругового цилиндра; б) обтекание пластины, установленной поперек потока

Но в то же время задача расчета и анализа картины обтекания тела жидкостью упрощается в связи с тем, что при больших числах Re вязкость оказывает существенное влияние на движение жидкости только в непосредственной близости к обтекаемой поверхности (в пограничном слое). А вдали от нее движение жидкости происходит так, будто она лишена вязкости.
Общая картина течения жидкости вокруг твердого тела при больших числах Рейнольдса может быть проиллюстрирована рис. 1.2, где показана примерная схема обтекания плоскопараллельным потоком сечения (профиля) крыла бесконечного размаха под большим докритическим углом атаки.
Набегающий на крыло поток имеет (в относительном движении) скорость . В передней (наветренной) части профиля в точке (передней критической точке) набегающий поток полностью тормозится. На поверхности профиля образуется пограничный слой , толщина которого возрастает по мере удаления от точки . В пограничном слое скорость жидкости на малом отрезке нормали к поверхности тела быстро возрастает от нуля до значения, близкого к скорости внешнего потока, в результате чего поток в пограничном слое имеет сильную завихренность .
Скорость потока, текущего вдоль верхней поверхности профиля, резко увеличивается вблизи его передней кромки, а затем уменьшается, что сопровождается ростом давления. Заторможенный поток жидкости в пограничном слое оказывается не в состоянии преодолеть это возрастание давления и в некоторой точке отрывается от поверхности профиля. Аналогичные условия возникают и на нижней поверхности профиля в области скругления задней кромки в точке . Оторвавшийся в точках и пограничный слой переходит в вихревые пелены и , отделяющие внешний поток от расположенной между ними области со сравнительно малыми скоростями движения частиц жидкости.
В ряде случаев в результате воздействия на поток вихревых пелен и в области, примыкающей к кормовой (подветренной) части профиля, возникает встречное течение жидкости, приводящее к появлению еще одной критической точки и, соответственно, точек отрыва и и еще двух вихревых пелен и . В некоторых случаях может возникнуть и большее число критических точек.
При своем дальнейшем движении вихревые пелены разрушаются и периодически сворачиваются в вихревые сгустки , которые сносятся потоком. Вихревые пелены, вихревые сгустки и сильно возмущенная область течения между ними образуют спутный след за телом. Диффузия завихренности вихревых пелен и сгустков в окружающий их поток приводит к увеличению (вниз по потоку) поперечных размеров спутного следа за телом и к уменьшению интенсивности возмущенного движения в нем.


Рисунок 1.2 - Структура потока вокруг крылового профиля (схематично)

Расположение вихревых сгустков относительно тела (профиля) и положение точек отрыва на его поверхности непрерывно изменяются во времени. Поэтому даже при стационарном набегающем потоке и неизменном угле атаки течение вокруг тела оказывается существенно нестационарным. Однако если профиль сечения тела имеет хорошо обтекаемую форму, а угол атаки мал, то точки отрыва и располагаются обычно очень близко к задней кромке профиля и почти не изменяют своего положения во времени, в результате чего нестационарность вихревого следа оказывается выраженной слабо

. И тогда течение жидкости вокруг тела можно рассматривать как стационарное.
Если же режим течения не является стационарным (например, скорость набегающего потока или угол атаки изменяются во времени), то общая картина течения усложняется дополнительно за счет того, что в этом случае в спутном следе возникает дополнительная завихренность, обусловленная этими изменениями (появлением «разгонных» вихрей).
При малых относительных толщинах передней кромки профиля сечения тела возможно возникновение отрыва ламинарного пограничного слоя непосредственно вблизи передней кромки с последующей турбулизацией прилегающего к телу потока и его присоединением к поверхности тела ниже по потоку. Обычно относительный размер такого «ламинарного пузыря» невелик, и он не оказывает существенного влияния на общую картину обтекания тела.
В ряде случаев при наличии у тела острых кромок, уступов, изломов поверхности и т.п. отрыв потока от обтекаемой поверхности оказывается не связанным с особенностями течения жидкости в пограничном слое, и его присутствие почти не сказывается на общей картине течения вокруг тела. На рис. 1.3 приведено несколько примеров таких течений. Во всех таких случаях с острых кромок, изломов поверхности и т.п. происходит, отрыв потока, сопровождающийся образованием вихревой пелены на границе между внешним потоком и областью сравнительно малых скоростей движения жидкости, в которой могут возникать циркуляционные течения.

Рисунок 1.3 - Плоскопараллельное обтекание тел с фиксированным отрывом потока (схематично): а) вертикальная преграда; б) уступ; в) пластана

В тех случаях, когда течение носит пространственный характер, что наблюдается при обтекании тел конечных размеров, общая картина обтекания дополнительно усложняется за счет трехмерных эффектов.
Рассмотрим для примера картину обтекания консоли крыла самолета (рис. 1.4). Крыло создает подъемную силу за счет разности давлений воздуха на его верхней и нижней поверхностях. Под действием этой разности наблюдается перетекание воздуха около боковой кромки консоли с нижней поверхности крыла на верхнюю. Поэтому вектор скорости в потоке под крылом отклоняется от направления вектора скорости набегающего потока в сторону боковой кромки крыла. А над крылом вектор скорости, наоборот, оказывается, отклонен к оси симметрии.


Рисунок 1.4 - Картина обтекания консоли крыла на повышенных углах атаки: 1 - консоль крыла; 2 - вектор скорости набегающего потока; 3 - вихревые пелены; 4 - линия отрыва потока на верхней поверхности крыла

В результате перетекания воздуха с нижней поверхности крыла на верхнюю у его боковой кромки возникает интенсивное вихревое движение. Пограничный слой, образовавшийся на верхней и нижней поверхностях крыла, стекая с них, создает за ним две вихревые пелены. При больших углах атаки пограничный слой на верхней поверхности крыла может отрываться на значительном расстоянии от его задней кромки (как показано на рис. 1.4). Вихревые пелены за крылом сложны по структуре. Они включают в себя как вихревые нити, ориентированные по размаху крыла, так и вихревые нити, направленные по потоку.
На некотором расстоянии от самолета вихревые пелены вместе с вихре- образованиями на боковых кромках крыла сворачиваются в два мощных вихревых жгута, которые могут быть обнаружены даже на большом расстоянии позади самолета.
Наконец следует подчеркнуть, что при пространственном обтекании тел направление вектора скорости в пограничном слое может не совпадать с направлением вектора скорости потока на его внешней границе, а течение в пограничном слое носит существенно трехмерный характер.

2 Математическое моделирование обтекания твердых тел
Движение вязкой несжимаемой жидкости в общем случае описывается уравнениями движения (уравнениями Навье - Стокса) и уравнением неразрывности [2, 3]. Аналитическое решение этой системы уравнений известно только для некоторых весьма частных случаев. Приближенные решения получены для некоторых «ползучих» течений, соответствующих очень малым числам Рейнольдса. Известно точное решение для ламинарного течения жидкости вблизи критической точки и некоторые другие [4]. Поэтому расчетные исследования и анализ обтекания тел произвольной формы вязкой жидкостью в широком диапазоне чисел Рейнольдса возможны только при численном решении указанной системы уравнений на ЭВМ.
Таким путем проведено математическое моделирование ряда градиентных течений несжимаемой жидкости в диапазоне чисел Рейнольдса до 103-104 [5, 6, 7]. Однако с дальнейшим ростом чисел задача существенно усложняется в связи с потерей устойчивости ламинарных течений и возникновением турбулентности.
Приближенное численное решение этой задачи может быть получено при переходе от уравнений Навье - Стокса к уравнениям Рейнольдса [8], содержащим осредненные во времени значения мгновенных составляющих скоростей частиц (микрообъемов) жидкости при ее турбулентном движении. Холя использование уравнений Рейнольдса в прикладных задачах требует привлечения дополнительно эмпирических или полуэмпирических моделей турбулентности [8], в ряде случаев такой путь дает вполне удовлетворительные результаты.
Однако, несмотря на значительные успехи вычислительной гидродинамики [9], численное решение уравнений Навье - Стокса или уравнений Рейнольдса для моделирования обтекания вязкой жидкостью тел произвольной формы оказывается весьма трудоемким прежде всего из-за сложности организации неравномерной адаптированной расчетной сетки во всей рассматриваемой области течения.
В то же время при больших числах Рейнольдса во многих практически важных случаях, когда предметом анализа является течение вокруг хорошо обтекаемого тела или когда отрыв потока локализован в заранее известных местах (например, на острых кромках тела), влияние вязкости на структуру потока оказывается второстепенным. И в этих случаях можно с удовлетворительной для многих прикладных задач точностью моделировать обтекание твердых тел, пренебрегая вязкостью, т.е. рассматривая течение идеальной жидкости, что существенно упрощает задачу, так как позволяет перейти от интегрирования уравнений Навье - Стокса к интегрированию существенно более простых уравнений Эйлера.
Для расчета безотрывных течений идеальной жидкости существует большое число как аналитических, так и численных методов, которые приложимы не только к потокам несжимаемой жидкости, но и к газовым потокам, в том числе при транс- и сверхзвуковых скоростях течения. Детальное моделирование отрывных течений идеальной жидкости является более сложной задачей. Одним из эффективных способов ее решения при малых дозвуковых скоростях движения жидкости является метод дискретных вихрей [10, 11, 12].
Но в тех случаях, когда обтекание тела сопровождается отрывом потока с гладких участков обтекаемой поверхности, достоверное моделирование возможно только с учетом особенностей течения в непосредственной близости к поверхности тела, где влияние вязкости существенно. Для упрощения задачи моделирования течения можно воспользоваться тем, что как уже отмечалось, при больших числах Рейнольдса область течения, в которой влияние вязкости существенно, не выходит далеко за пределы тонкого пограничного слоя. Поэтому в данной книге, следуя Л. Прандтлю, будем считать, что вся рассматриваемая область течения (рис. 1.2) может быть разделена на область , в которой поток ведет себя как идеальная жидкость, и области пограничного слоя и вихревых пелен. При этом должно учитываться взаимодействие течений во всех трех областях.


3 Моделирование нестационарного обтекания твердых тел несжимаемой жидкостью с использованием метода дискретных вихрей и теории пограничного слоя
Решение прямой задачи численного математического моделирования обтекания твердого тела или системы тел с заданными геометрическими и кинематическими параметрами (формой, размерами, скоростями движения и т.п.) сводится к составлению алгоритма и программы численного определения полей скоростей и давлений в окружающем тело пространстве и, соответственно, к определению аэродинамических сил и моментов, действующих на каждое тело.
Для моделирования течения жидкости вне пограничного слоя (в области на рис