"Функции" для достижение образовательных результатов

Рассмотрим содержание материала по теме «Функции» изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 – 11 класс школы.
Первым рассмотрим учебник Колягина Ю. М., Сидорова Ю. В., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунина М. И. «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Профильный уровень».
Тема «Функции» изучается в школьном курсе алгебры и начала математического анализа в 10 классе. В данном учебнике она распределена на 4 главы:
Глава II. Показательная функция.
§7. Показательная функция, ее свойства и график
Глава III. Степенная функция.
§9. Степенная функция, ее свойства и график.
§10. Взаимно обратные функции.
Глава IV. Логарифмическая функция.
§17. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Глава VIII. Тригонометрические функции.
§ 50. Периодичность тригонометрических функций.
§ 51. Функция y=sinх, ее свойства и график.
§ 52. Функция y=cosx, ее свойства и график.
§ 53. Функции y= tgx и y=ctgx, их свойства и графики.
§ 55. Обратные тригонометрические функции.
Итого, содержание темы представлено в девяти параграфах. В конце каждой главы находится дополнительные «упражнения к главе …» и присутствует блок заданий «Проверь себя!». Отличительной особенностью данного учебника является то, что после каждой главы находится историческая справка.
Во II главе автор вводит понятие показательной функции и представляются основные три свойства функции:
1. Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел;
2. Множество значений показательной функции-множество всех положительных чисел;
3. Показательная функция у=ах является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а1, и убывающей, если 0а1.
Далее рассматривается ход построения графика показательной функции на 2-х примерах, решение уравнения графическим методом и две текстовые задачи. Примечательно, что в данном теме приводится таблица, в которой отражены все основные функции, которые изучались до 10 класса:
1) y=kx+b, k≠0;
2) у=х2;
3) у=х3;
4) у=х ;
5) у=kx ;
6) y=ax2+bx+c, a≠0.
Помимо общего вида функций описаны их: области значения, множества значений, схемы графиков, интервалы знакопостоянства и промежутки возрастания (убывания).
После этого приводятся упражнения по данной теме. С помощью данных упражнений учащиеся будут уметь строить рисунок графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий, находить область определения функции, определять возрастающей или убывающей является функция.
В III глава посвящена степенной функции и ее изучение начинается с введения понятия степенной функции у=хр, где р – заданное действительное число.
Далее рассматриваются 6 случаев чему может равняться р:
1) Показатель р=2n – четное натуральное;
2) Показатель p=2n-1 – нечетное натуральное;
3) Показатель p= -2n, где n-натуральное число;
4) Показатель p= -(2n-1), где n-натуральное число;
5) Показатель p – положительное действительное нецелое число;
6) Показатель p – отрицательное действительное нецелое число.
Приводятся примеры графиков на каждый из вышеперечисленный случай.
Упражнения даются на закрепление понятия степенной функции, умение строить рисунок графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
В следующем параграфе рассматриваются взаимно обратные функции.
Первым делом вводится понятие обратимой функции:
Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение у только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.
После дается функция y=g(x) и говорится, что она является обратной к функции y=f(x).
Далее на примере показывается, что данные функции являются взаимно обратными и выводится определение:
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.
И в заключении параграфа приводятся теоремы:
Теорема 1. Монотонная функция является обратимой.
Теорема 2. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у=х.
Теоремы приводятся с доказательством.
Упражнение направлены на: закрепление понятия обратной, обратимой и взаимно обратных функций, умение строить рисунок графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий, умение находить область определения и множество значений функции.
IV глава посвящена логарифмической функции. Четвертый параграф этой главы посвящен именно логарифмической функции ее свойствам и графику.
Изучение параграфа начинается сВведение

понятия логарифмической функции y=logax ,где а0, a≠1. После этого авторы знакомят с основными свойствами логарифмической функции:
1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел;
2. Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел;
3. Логарифмическая функция y=logax является возрастающей, если a1, и убывающей, если 0a1.
4. Если а1, то функция y=logax принимает положительные значения при х1, отрицательные - при 0х1. Если 0a1, то функция y=logax принимает положительные значения при 0х1, отрицательные – при х1.
5. Логарифмическая функция y=logax и показательная функция
у=ах , где a0 и a≠1, взаимно обратные.
Далее рассматривается ход построения графика логарифмической функции и рассматривается три примера решения уравнений и неравенств. Упражнения направлены на: закрепление понятия логарифмической функции, нахождения области определения функции, умение строить график функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
В заключительной VIII главе рассмотрены тригонометрические функции.
Глава начинается с введения понятия периодичности тригонометрических функций.
Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство f(x – T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции f(x).
После этого на примере показывается, что наименьший положительный период функции y=sinx равен 2π.
Следом на примере показывается, что π – наименьший положительный период функции tgx.
В данном параграфе упражнения направлены на закрепление понятия периодической функции и умение строить график функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
Следующий параграф посвящен функции sinx, ее свойствам и графику.
Рассматривается график функции у=sinx на отрезке 0;π2 и доказывается, что на этом отрезке функция у=sinx возрастает.
Рассматривается график функции у=sinx на отрезке 0;π.
Рассматривается график функции у=sinx на отрезке -π;π.
Рассматривается график функции у=sinx на всей числовой прямой.
Дается определение, что кривая, являющаяся графиком функции у=sinx, называется синусоидной.
Описываются основные свойства функции у=sinx.
Область определения – множество R.
Множество значений – отрезок [-1;1].
Функция у=sinx – периодическая с периодом 2π, т. е. sin(x+2π)= sinx.
Функция у=sinx – нечетная, т. е. sin(-x)= - sinx.
Функция у=sinx:
возрастает на отрезках -π2+2πn;π2+2πn, nϵZ;
убывает на отрезках π2+2πn;3π2+2πn, nϵZ.
Функция у=sinx принимает:
наибольшее значение, равное 1, при х=π2+2πn;, nϵZ;
наименьшее значение, равное -1, при х=-π2+2πn;, nϵZ;
значение, равное 0, при х=πn;, nϵZ.
При помощи упражнений учащиеся отрабатывают умения:
1. находить по графику приближённо значения функции в заданных точках;
2. определять по графику свойства функции, т. е. нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.;
3. находить множество значений функции;
4. определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
5. строить график функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
Следующий параграф посвящен функции cosx, ее свойствам и графику.
Рассматривается график функции у=cosx и показывается, что его график получается из графика функции y=sinx сдвигом вдоль оси абсцисс влево на π2.
Описываются основные свойства функции у=cosx:
1. Область определения – множество R.
2. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция у=sinx – периодическая с периодом 2π, т. е. cosx (x+2π)= cosx.
4. Функция у=cosx – четная, т. е. cosx (-x)= cosx.
5. Функция у=cosx:
возрастает на отрезках -π+2πn;2πn, nϵZ;
убывает на отрезках 2πn;π+2πn, nϵZ.
6. Функция у=cosx принимает:
наибольшее значение, равное 1, при х=2πn;, nϵZ;
наименьшее значение, равное -1, при х=π+2πn;, nϵZ;
значение, равное 0, при х= π2+πn;, nϵZ.
При помощи упражнений учащиеся отрабатывают умения:
1. находить по графику приближённо значения функции в заданных точках;
2. определять по графику свойства функции, т. е. нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.;
3. находить множество значений функции;
4. определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
5

. строить график функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
В следующем параграфе описываются функции y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики.
Рассматривается график функции y=tgx на полуинтервале [ 0; π2) и доказывается, что она возрастает на этом полуинтервале.
Рассматривается график функции y=tgx на интервале ( -π2; π2).
Рассматривается график функции y=tgx на всей области определения.
Описываются основные свойства функции y=tgx:
1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел π2+πn;, nϵZ.
2. Множество значений – множество R.
3. Функция y=tgx – периодическая с периодом π.
4. Функция y=tgx – нечетная, т. е. tg(-x)= - tgx.
5. Функция y=tgx возрастает на отрезках -π2+πn;π2+πn, nϵZ.
6. Функция y=tgx принимает значение, равное 0, при х= πn;, nϵZ.
Описывается функция y=ctgx.
При помощи упражнений учащиеся отрабатывают умения:
1. находить по графику приближённо значения функции в заданных точках;
2. определять по графику свойства функции, т. е. нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.;
3. находить множество значений функции;
4. определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
5. строить график функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
Заключающим параграфом в данном учебнике является обратные тригонометрические функции.
Рассматривается функция y=arcsinx.
Показывается, что функция y=arcsinx является обратной к функции y=sinx на отрезке -π2≪х≪π2.
Перечисляются основные свойства функция y=arcsinx:
1. Область определения – отрезок [-1; 1].
2. Множество значений – отрезок [-π2; π2].
3. Функция y=arcsinx возрастает.
4. Функция y=arcsinx является нечетной: arcsin(-x)= - arcsinx.
Рассматривается функция у=arccosx.
Перечисляются основные свойства функция y= arccosx:
1. Область определения – отрезок [-1; 1].
2. Множество значений – отрезок [-0; π].
3. Функция y= arccosx убывает.
Рассматривается функция у= arctgx.
Перечисляются основные свойства функция y= arctgx:
1. Область определения – множество R.
2. Множество значений – интервал (-π2; π2).
3. Функция y= arctgx возрастает.
4. Функция y= arctgx является нечетной: arctgx (-x)= - arctgx.
И после рассмотрения всех вышеперечисленных функций указывается, что все они называются обратными тригонометрическими функциями.
Упражнения после параграфа направлены на: умение находить области определения и множества значений функции; определять по графику свойства функции, т. е. нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.
Тема «Функции» продолжается в учебнике алгебра и начала математического анализа 11 класса.
Глава I. Производная и ее применения.
§ 1. Предел функции. Непрерывные функции.
§ 7. Возрастание и убывание функции.
§ 8. Экстремумы функций.
§ 9. Применение производной к построению графиков функций.
§ 10. Наибольшее и наименьшее значение функции.
В первом параграфе дается определение непрерывной функции.
Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если limх⟶х0f (х) = f (х0).
Функцию называют непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функцию f (х) называют непрерывной на отрезке [а; b], если
она непрерывна на интервале (а; b) и limх⟶axaf (х) = f (а), limх⟶bxbf (х) = f (b).
После этого рассматриваются два примера по исследованию является ли функция непрерывной.
Упражнения после этого параграфа направлены на: закрепление понятия непрерывной функции; умение находить область определения и множество значений; строить рисунок графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий.
В следующем параграфе рассматривается возрастание и убывание функции.
Автор включает теорему Лагранжа и поясняет ее геометрический смысл.
Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), тогда на этом интервале существует такая точка х0, что выполняется равенство f (b) -f (а)= f '(x0) (b -а).
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда, если f '(х)0 во всех внутренних точках, то функция f (х) возрастает на этом промежутке; если f ' (х)0 во всех внутренних точках, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
Автор приводит всего 7 упражнений после этого параграфа, 3 из которых являются повышенной трудности. Данные упражнение направлены на отработку понятия непрерывной функции и умения находить интервалы возрастания и убывания функции.
Следующий параграф начинается с введения определений точки максимума и минимума функции.
Точка х0 называется точкой максимума функции f (х), если для всех х≠х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (х)f (х0)
Точка х0 называется точкой минимума функции f (х), если для всех х≠х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (х)f (х0).
Далее приводится теорема Ферма и описывается ее геометрический смысл.
Теорема 1. Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности х0 и дифференцируема в этой точке. Если х0 - точка экстремума функции f (х), то f ' (х0) = О.
Также автор указывает на стационарные и критические точки. После этого описывается достаточное условие экстремума.
Теорема 2. Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и непрерывна в точке х0. Тогда:
1) если f '(x) меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку х0, т.е. в некотором интервале (а; х0) производная положительна и в некотором интервале (х0; b) - отрицательна, то х0 - точка минимума функции f (х);
2) если f (х) меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку х0, то х0 - точка максимума функции f (х).
В конце параграфа приводится по одному упражнению на нахождение стационарных, критических точек и нахождение экстремума функций. Т. е. закрепляются все вышеперечисленные понятие и вырабатывается алгоритм нахождения каждого из них.
В следующем параграфе рассматривается теоретическая часть применение производной к построению графиков и дается рекомендация, что при исследовании свойств функции полезно найти:
область ее определения;
производную;
критические точки;
промежутки возрастания и убывания;
точки экстремума и значения функции в этих точках.
Упражнения направлены на определение по графику свойства функции,
т. е. нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.; построение рисунка графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий (промежутки возрастания и убывания, значение функции в заданной точке, точки экстремумов, асимптоты, нули функции и т. д.).
Далее рассматриваются наибольшее и наименьшее значение функции и приводится алгоритм их нахождения:
Если f(х) непрерывна на отрезке [а;b], тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а;b] нужно:
найти значение функции на концах отрезка, т. е. числа f(a) b f(b);
найти ее значения в критических точках;
из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Упражнения направлены на определение по графику свойства функции,т.е.
нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т. д.; построение рисунка графика функции, удовлетворяющий приведённому набору условий (промежутки возрастания и убывания, значение функции в заданной точке, точки экстремумов, асимптоты, нули функции и т. д.); определение значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции.
Рассмотрим учебник Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс – автор Мордкович А. Г. Учебник для 10 класса состоит из двух частей. Первая часть – учебник, вторая часть – задачник. Аналогично для 11 класса.
Тема «Функции» изучается в школьном курсе алгебры и начала математического анализа в 10 классе. Но, в отличие от учебника Колягина М. Ю., тут совершенно другое распределение тем. И самая главная особенность заключается в том, что в учебнике, т. е. в первой части нет упражнений. Там только теоретический материал и разбор примеров. Все упражнения к темам находятся во второй части – в задачнике.
Глава 1. Числовые функции.
§1. Определение числовой функции и способы ее задания.
§2. Свойства функций.
§3. Обратная функция.
Глава 2. Тригонометрические функции.
§10. Функция y=sinx, ее свойства и график.
§11. Функция y=cosx, ее свойства и график.
§12. Периодичность функций y=sinx, y=cosx.
§13. Преобразование графиков тригонометрических функций.
§14. Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики.
Глава 5. Производная.
§ 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.
§ 31. Построение графиков функций.
Глава 6