Доверительный интервал. Методы построения доверительных интервалов.

Введение

Точечные оценки не дают всей желаемой информации об измеряемой физической величине. Необходимо иметь критерий, характеризующий точность сделанной оценки. Состоятельность и несмещенность оценки дают лишь уверенность в том, что эта оценка лучше по сравнению с другими возможными.
Во многих практических случаях при определении данных характеристик объектов для обеспечения желаемой точности целесообразно определять не точечные оценки их неизвестных значений, а некоторый интервал, который с заданной вероятностью накрывает данные значения. Обычно при решении задач по определению подобных оценок, особый интерес представляет не только точность, но и надежность оценок при ограниченном числе измерений.
В математической статистике решение этих задач производится путем построения доверительного интервала, который с заданной вероятностью накрывает оцениваемое значения.
Цель данной работы заключается в изучении доверительного интервала и методов его оценки.

1. Понятие доверительного интервала
Точечные оценки параметров распределения являются первоначальными ориентировочными результатами обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой степенью точности они дают оцениваемый параметр. Если для большого числа наблюдений обычно бывает достаточной для практических выводов (в силу несмещенность, состоятельности, эффективности), то для выборок с малым объемом вопрос о точности оценок очень существенен.
Так как истинное значение определяемой величины установить невозможно, с помощью методов математической статистики устанавливают пределы области вокруг экспериментально найденного среднего X, внутри которого следует ожидать с данной степенью надежности нахождения истинного значения.
Пусть изучается случайная величина X и есть точечная оценка некоторой характеристики θ этой случайной величины, получаемая по результатам статистической выборки. Так как является случайной величиной, то полученное по некоторой выборке значение будет отличаться от истинного значения θ. Если взять некоторое небольшое число , то возникает вопрос: «Чему равна вероятность того, что разность между истинным значением θ и оцененным значением не превзойдет δ, или иначе чему равна вероятность того, что истинное значение характеристики θ будет находиться на интервале ?»
В математической статистике при анализе точности приближения оценочного значения характеристики случайной величины обычно рассуждают в обратном направлении. Изначально задаются некоторой вероятностью α (она называется доверительной вероятностью, или надежностью) и ищут такое число δ, при котором выполняется равенство , которое записывается также в виде

. (1)
Иначе говоря, ищут такое число δ, при котором с вероятностью α искомое значение числового показателя будет находиться на интервале .
Интервал называется доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности α. Обычно α выбирается равным или 0,95, или 0.99, или 0,999.
Итак, если по заданному α и оценочному значению удается найти δ как решение уравнения (1), то можно утверждать с вероятностью α, что интервал накроет истинное значение характеристики θ случайной величины X.
Следует иметь в виду, что, если нет никаких априорных данных о характере распределения случайной величины, ответ на поставленный вопрос оказывается принципиально затруднительным. [3, с. 29-30]
2. Методы построения доверительных интервалов
Рассмотрим основные особенности интервального оценивания. В выражении (1) вероятность α принято называть доверительной вероятностью (иногда в литературе эту вероятность называют коэффициентом доверия), а сам интервал доверительным.
Обозначим через и – левую и правую границу доверительного интервала соответственно.
Ширина доверительного интервала является случайной величиной – в зависимости от того, каким образом строятся точечные оценки для нижней и верхней границ интервала. Можно попытаться сделать длину доверительного интервала постоянной, выбирая
и ,
где – точечная оценка параметра X;
– некоторое положительное число.
Тогда длина доверительного интервала постоянна и равна . [2, с. 77-84]
Значение можно найти различными способами.
Подход к нахождению интервальной оценки для значения физической величины при известном законе распределения погрешности основан на понятии квантиля. Квантилем порядка P называется такое значение случайной величины X, для которого интегральная функция распределения равна P, то есть
. (2)
Вероятность того, что X лежит в интервале равна:
. (3)
Для симметричного распределения
и . (4)
При этом правая часть в (3) будет иметь вид
. (4)
Если погрешности результатов отдельных измерений распределены нормально и стандартное отклонение для них известно, то и распределены по нормальному закону с известным СКО . Стандартное отклонение среднего можно считать известным и равным его точечной оценке , если последняя выполнена по большому числу измерений (), либо при проведении данных измерений, либо проведенных ранее при отработке методики измерений. При этом значения и определяются по таблицам значений функции Лапласа , а доверительный интервал удовлетворяет условию
. (5)
где – аргумент функции Лапласа , отвечающий вероятности .
В данном случае называется квантильным множителем, поскольку – нормированная величина, в соответствии с