Достоинства и недостатки статистического моделирования

ВВЕДЕНИЕ
Для решения сложных задач в различных областях науки и техники разработан универсальный метод статистического моделирования. И, хотя его применение требует проведения большого числа испытаний для достижения заданной точности результата в связи со значительным ростом вычислительной мощности современных компьютеров, актуальность статистического моделирования неуклонно возрастает. Во всех случаях, когда имитация функционирования системы осуществляется в условиях случайных воздействий и помех, эксперимент приобретает статистический характер.
Целью данной работы является статистическое определение выходных результатов и обработка результатов с использованием статистических методов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло.  Предметом исследования в целом можно назвать моделирование в качестве мощного инструмента, который широко используется в исследованиях при анализе различных видов деятельности и включает в себя построение модели и исследование с ее помощью свойств реального объекта.
 Метод статистического моделирования предлагает большие возможности при использовании в различных областях. Особое значение имеет моделирование в управлении различными системами с конкретными задачами, где основными являются процессы принятия решений на основе полученной информации. Методология статистического моделирования направлена ​​на упрощение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.
  Сущность статистического моделирования заключается в переходе от непосредственного изучения явлений, процессов природы, технических или других объектов к их изучению посредством эксперимента с соответствующей моделью.
ПОНЯТИЕ СТАТЕСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Статистическое моделирование представляет собой метод получения статистических данных о процессах в моделируемой системе. Можно сказать, что моделирование систем в общем случае - не более чем статистическое моделирование.
Моделирование статистики охватывает широкий круг вопросов и использует различные методы. Задача усложняется еще и тем, что в общем случае исследователь априори не располагает конкретными данными о законах распределения и других статистических характеристиках эффектов и дисперсии параметров компонентов исследуемой системы (из-за нестабильности технологических процессов, изменений в исходных материалах и т. д.). При накоплении и обобщении информации, корректировка накопленных статистических данных не требуется.
Статистическое моделирование выступает как базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности.
Процесс статистического моделирования включает в себя большое количество операций, связанных с формированием, преобразованием и использованием реализаций случайных событий, случайных величин и случайных процессов. Реализация моделируемого процесса отражает только случайные комбинации действующих факторов, которые развиваются в процессе моделирования. Желаемые значения и характеристики в статистическом моделировании определяются как средние значения в соответствии с рядом реализаций процесса.
  Совокупность реализаций выступает в качестве «статистического материала» в машинном эксперименте, а оценка параметров исследуемой системы по результатам моделирования в роли обработки «экспериментальных» данных, что требует построения библиотеки обработки. и программы анализа результатов статистического моделирования.
  Основные моменты, связанные с решением задач обработки и анализа результатов статистического моделирования при реализации машинного эксперимента, следует обозначать как количество реализаций, которые следует выбирать из двух основных показателей:
  • компьютерное время для статистического моделирования;
  • точность и достоверность оценки результатов моделирования. Эти соображения противоречивы. Компромисс между этими показателями является одной из важнейших задач статистического моделирования.
Статистическое моделирование может использоваться для решения детерминированных проблем. Статистический анализ в этом случае применяется после получения, например, оптимального решения детерминированной задачи в номинальном режиме. Окончательному суждению о качестве полученного решения должен предшествовать статистический анализ, который даст ответ на вопрос об отклонениях выходных параметров от номинальных при замене детерминированной задачи эквивалентной статистической.
Метод статистических испытаний успешно применяется, например, при статистическом анализе микросхем, интегральных микросхем. Эти схемы имеют большую размерность, нелинейные и корреляционные связи между параметрами, что существенно усложняет прямые аналитические расчеты. Метод Монте-Карло реализует вариант расчета и, по сути, представляет собой численный метод решения аналитической задачи.
Основы статистического моделирования
Исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято считать статистическим моделированием. Иными словами, статистическая модель случайного процесса - это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям; имитируют взаимодействие элементов системы, носящих вероятностный характер. Тогда статистическое моделирование можно определить как способ изучения сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационных моделей.
В практике моделирования систем информатики чаще всего необходимо иметь дело с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат стохастические элементы или подвержены стохастическим воздействиям окружающей среды. Поэтому основным методом получения результатов с использованием имитационных моделей таких стохастических систем является метод статистического компьютерного моделирования, в котором в качестве теоретической базы используются предельные теоремы теории вероятностей. Способность пользователя получить модель результатов статистического моделирования сложных систем в условиях ограниченных компьютерных ресурсов существенно зависит от эффективности процедур генерации псевдослучайных последовательностей на компьютерах, которые являются основой для моделирования воздействий на элементы смоделированная система.
Метод статистических испытаний, основанный на использовании случайных чисел, то есть возможных значений случайной величины с заданным распределением вероятности. Другими словами, это метод получения с помощью компьютеров статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе.
Сущность метода статистического моделирования

. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для функционирования исследуемой системы определенного алгоритма моделирования, который имитирует поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий окружающей среды £, и реализации этого алгоритма с использованием компьютерного оборудования и программного обеспечения.
Существуют две области применения метода статистического моделирования:
- для изучения стохастических систем;
- для решения детерминированных задач.
Основная идея, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, заключается в замене детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения проблемы получается приближенное решение, и ошибка уменьшается с увеличением количества тестов.
 В результате статистического моделирования системы получен ряд конкретных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получать информацию о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и могут быть приняты с достаточной точностью в качестве оценки желаемых характеристик в процессе функционирования системы.
Теоретической основой метода статистического моделирования компьютерных систем являются предельные теоремы теории вероятностей. Многие случайные явления (события, величины) подчиняются определенным законам, которые позволяют не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценивать некоторые их средние характеристики, которые демонстрируют определенную стабильность. Характерные закономерности также наблюдаются в распределениях случайных величин, которые формируются путем сложения многих влияний. Выражение этих законов и устойчивость средних показателей являются так называемыми предельными теоремами теории вероятностей, некоторые из которых приведены ниже в формулировке, подходящей для практического использования в статистическом моделировании. Фундаментальное значение предельных теорем заключается в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при очень большом количестве тестов (реализаций).
Статистическое моделирование - это численный метод решения математических задач путем моделирования структур, процессов функционирования и взаимосвязи элементов системы (объекта исследования) с использованием случайных последовательностей величин, характеризующих эти элементы, с последующей статистической оценкой различных показателей система в соответствии с полученным набором реализаций.
Общая схема метода Монте-Карло
На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который основан на использовании случайных чисел, то есть возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование выступает здесь как метод получения с помощью компьютера статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения интересных оценок характеристик моделируемой системы с учетом влияния внешней среды статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.
Метод Монте-Карло признается одним из широко применяемых методов статистического анализа. Исходными данными для анализа являются внутренние X={х1, х2,..., хn} и внешних параметры F= {f1, f2, ..., fК} (воздействие среды - сигналы, нагрузка, температура, помехи и прочее), а итоговым решением - определение выходных параметров исследуемого объекта Y= G (Х, F).
Метод Монте-Карло часто применяют для вычисления надежности сложных систем с большим количеством элементов. Анализ рисков с использованием метода имитационного моделирования Монте-Карло представляет собой сочетание методов анализа чувствительности и анализа сценариев на базе теории вероятностей. Результат такого комплексного анализа - распределение вероятностей возможных результатов. Поэтому окончательное суждение о качестве продукта можно будет сделать после проведения статистического анализа, позволяющие оценить рассеяния выходного параметра относительно номинального (требуемого) значения.
Статистический анализ Монте-Карло реализуется на основе статистических тестов. В этом случае источником информации являются числовые характеристики распределения внутренних параметров X и допустимые диапазоны изменения внешних параметров F, и в результате числовые характеристики закона распределения У.
Алгоритм метода включает в себя проведение испытаний N (эксперименты). В каждом тестовом наборе случайной величины х1 и f1 в соответствии с их распределением и определяются случайные значения параметров уголовного кодекса. Существует ряд программных систем для реализации статистических экспериментов Монте-Карло.
Метод Монте-Карло имеет две особенности. Первая - это простота вычислительного алгоритма. Программа расчета предусматривает, что для реализации одного случайного события выбирается случайная точка и проверяется, принадлежит ли она некоторому набору (или пробелу). Этот тест повторяется, и каждый эксперимент не зависит от других, и результаты всех экспериментов усредняются. Соответственно, этот метод называется методом статистического теста. Вторая особенность метода заключается в том, что он действителен только тогда, когда случайные точки не просто случайны, но и равномерно распределены в анализируемом пространстве, а погрешность расчета пропорциональна количеству тестов.
Непосредственно, методы Монте-Карло образуют численные методы решения математических задач (систем алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений) и прямое статистическое моделирование (физических, химических, биологических, экономических, социальных процессов) при помощи получения и преобразования случайных чисел.
Как правило, предполагается, что моделирование осуществляется с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ), хотя в некоторых случаях можно добиться успеха, используя приспособления типа рулетки, карандаша и бумаги