Численные методы

Введение

Актуальность темы в том, что численные методы представляют собой отдельную область математики и применяются в различных прикладных направлениях. В частности, с помощью численных методов решаются и проблемы прикладной оптики.
Все численные методы обладают некоторым набором характеристик. Наиболее важной из них является точность. На всех этапах решения задачи могут возникать погрешности, искажающие результаты вычислений, которые и определяют точность.
Для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью (корректностью) и сходимостью.
В большинстве случаев, кроме точности (сходимости, устойчивости, корректности) необходимо следить за минимизацией трудоемкости решения. Применительно к вычислительным задачам трудоемкость определяется объёмом памяти, используемым в процессе поиска решения, и временем, необходимым для выполнения вычислений. Время обычно измеряется в количестве элементарных операций (сложения, умножения, и т.д.), которые необходимо выполнить для решения задачи. Эти характеристики желательно уменьшать построением оптимальных алгоритмов вычисления, не потеряв при этом в точности. К сожалению, часто уменьшение трудоемкости и увеличение точности являются взаимоисключающими параметрами, и главной задачей является найти баланс между ними.
Степень изученности. В разработке данной темы были использованы работы таких авторов как: Бартеньев О.В., Бахвалов Н.С., Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Воробьев Г. Н., Данилова А. Н., Данко П.Е., Исаков В.Н., Протасов И.Д

. и др.
Целью данной работы является изучение численных методов, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:
- Рассмотреть описание алгоритма метода касательных;
- Исследовать метод Симпсона(метод параболы);
- Решить практическое задание.
Структура данной работы состоит из: введения, 3 глав, заключения и списка используемой литературы.
1. Описание метода (Ньютона). представление . Условия начальной
Метод (также как касательных) -- итерационный метод корня () заданной . Поиск осуществляется построения приближений основан принципах итерации. обладает сходимостью. метода метод и . Также Ньютона быть для задач , в требуется нуль производной градиента случае пространства.
метода 1:
1) если функция квадратической, метод найти за шаг;
2) минимизируемая относится классу вращения, метод обеспечивает за шаг;
3) функция , то не сходимость конечное шагов. для функций гораздо высокая сходимости, при других метода спуска.
численно уравнение (x)=0 ( предыдущем это уравнение, (1.5)) методом итерации, необходимо к форме:, -сжимающее .
Для сходимости в очередного должно условие . данного ищут виде , :
В , что приближения « близка» корню , что функция , окончательная такова:
учётом функция выражением:
функция окрестности осуществляет отображение, алгоритм численного уравнения {x)= 0 к процедуре :
По Банаха приближений к уравнения.
1. Графическое метода 2
Основная метода в : задаётся приближение предположительного , после строится к функции точке , для находится с абсцисс