Астрономия и математика в восточных странах

Введение

Астрономия, как и математика, начала своё развитие в глубокой древности. Знания математических и астрономических основ было крайне важно для Древнего Египта, цивилизаций Ближнего Востока, таких как Шумер и Вавилонское царство, а также для Древней Индии и Китая.
Астрономия и математика оказались связанными между собой, поскольку математика позволяла вычислить и рассчитать необходимые координаты географического или астрономического объекта.
Формирование астрономических и математических понятий и приемов решения элементарных задач охватывает большой период времени. Его начало теряется в глубине веков; заканчивается он лишь тогда, когда становится возможным, на основе накопленного опыта, создать начальные формы математических теорий.
Ранние римляне хорошо знали небесные знаки - те, которые указывали лучшие времена для посадки и сбора урожая, которые сигнализировали об изменениях в сезоне, и которые давали указания путешественникам в незнакомых регионах. Они знали фазы луны, главные созвездия и положения различных звезд в течение календарного года. Действительно, они приблизительно знали, что это был за год, хотя ранний римский год был неточным по сравнению с более поздним принятием более совершенных календарей, разработанных древними египтянами, вавилонянами и греками. Когда обсуждается астрономия, есть три несколько отличных области: примитивная астрономия обычных римлян; математическая астрономия, изученная в основном у греков; и астрология, также изученная у египтян, вавилонян и, в меньшей степени, греков.
Рассмотрим, как развивалась взаимосвязь астрономических и математических знаний в Древнем Египте, Индии и Вавилоне.


1 Зарождение астрономии и математики в Древнем Египте.
Государственная организация и центральное управление также оказали большое влияние на развитие науки и техники в древнем Египте. Большинство древнеегипетского населения было бедным и неграмотным, но богатое меньшинство, состоявшее из дворянства и священства, очень интересовалось событиями и происшествиями в их среде. Наблюдение, описание и изучение природных явлений привело к развитию древнеегипетской науки, основанной на принципах простоты и удобства использования. Древнеегипетские инженеры, строители, архитекторы, практикующие врачи, учителя и астрономы не особенно интересовались причинами определенных событий, которые обычно приписывались сверхъестественным силам. Древние египтяне были в основном практичны и менее теоретичны.Введение

письменности в Египте в до-династический период (ок. 3000 г. до н. Э.) Привело к образованию особого класса грамотных профессионалов - писцов. Благодаря своим навыкам письма писцы взяли на себя все обязанности гражданской службы: ведение учета, налоговый учет, управление общественными работами (строительные проекты и т. п.), Даже ведение войны за контроль над военными поставками и платежными ведомостями. Молодые люди поступили в школы писцов, чтобы изучить основы профессии, которая включала в себя не только чтение и письмо, но и основы математики.
Древние египтяне сильно зависели от ежегодных паводков в Ниле, что означает, что они должны были измерить пахотную землю, каждый год устанавливать границы между собственниками земли, чтобы предотвратить конфликты. Строительство великолепных храмов и дворцов также требовало точных планов и некоторых математических знаний. Помимо измерения древних египтян также пришлось использовать другие основные математические дисциплины, такие как подсчет и расчет в экономических целях. Если они хотели торговать, им нужно было учиться весить, а измерение, подсчет и расчет были важны для сбора налогов. [6, c.103]
То, что известно о египетской математике, хорошо согласуется с тестами, заданными писцом Хори. Информация поступает в основном из двух длинных папирусных документов, которые когда-то служили учебниками в школах писцов. Папирус Rhind (в Британском музее) - это копия, сделанная в 17 веке до н.э. из текста, который на два века старше. В нем содержится длинная таблица дробных частей, чтобы помочь с делением, а затем решения 84 конкретных задач в арифметике и геометрии. Папирус Голенищева (в Московском музее изобразительных искусств), датируемый 19 веком до н.э., представляет 25 проблем подобного типа. Эти проблемы хорошо отражают функции, которые должны были выполнять писцы, поскольку они имеют дело с тем, как, например, распределять пиво и хлеб в качестве заработной платы и как измерять площади полей, а также объемы пирамид и других твердых тел.
Древние египтяне знали геометрические тела и рассчитывали поверхность и объем некоторых из них, что ясно демонстрирует потрясающую точность в строительстве пирамид. Они использовали десятичную систему и имели отдельные символы для 10, 100, 1000 и т. д., А также арифметические операции: сложение (+), вычитание (-), умножение (x) и деление (/). Древние египтяне также очень близко подошли к числовому значению математической константы Pi (π). В такой системе сложение и вычитание сводятся к подсчету количества символов каждого вида в числовых выражениях, а затем переписыванию с результирующим количеством символов. Сохранившиеся тексты не раскрывают, какие специальные процедуры писцы использовали, чтобы помочь в этом. Но для умножения они ввели метод последовательного удвоения.
Геометрические задачи в папирусах требуют измерения фигур, таких как прямоугольники и треугольники заданного основания и высоты, с помощью соответствующих арифметических операций. Весь процесс аналогичен процессу решения алгебраического уравнения для задачи (x × 3 / 4x = 12), но без использования буквы для неизвестного. Интересная процедура используется для определения площади круга (папирус Rhind, задача 50): 1/9 диаметра отбрасывается, а результат возводится в квадрат.
Египтяне использовали эквивалент подобных треугольников для измерения расстояний. Например, искривление пирамиды определяется как количество пальм в горизонтальной плоскости, соответствующее росту на один локоть (семь ладоней). Таким образом, если длина сикэда равна 51/4, а основание составляет 140 локтей, высота становится 931/3 локтя.
Древнеегипетский календарь имел 365 дней и 12 месяцев с 30 днями, в то время как 5 дополнительных дней в конце года были добавлены как дни рождения главных богов. Основой древнеегипетского календаря (который в значительной степени совпадает с нашим современным календарем) было ежегодное наводнение Нила - время от одного до другого наводнения Нила было эквивалентно одному году. Так древний египтянин праздновал новый год в середине сентября, когда наводнение достигло своего пика.


Рисунок 1-Древнеегипетский календарь

Помимо дня нового года, который в соответствии с наиболее распространенным на сегодняшний день григорианским календарем 1 января, древнеегипетский календарь также отличался от современного календаря тем, что в нем было всего три сезона: ахет (наводнение), перет (рост-зима) и шему (урожай- Шумер).
Ежегодное наводнение Нила также сильно повлияло на развитие астрономии в древнем Египте - наводнение начиналось каждый год в середине июня во время летнего солнцестояния, когда Сириус, самая яркая звезда Большого Пса, стала видимой незадолго до восхода солнца. Священник наблюдал за небесными телами и различал 36 звезд и пять планет. Древние египтяне использовали солнечные часы днем и водяные или песочные часы ночью для измерения времени. [21, c.94]
Даже учитывая скудость сохранившейся документации, египетские достижения в математике следует рассматривать как скромные. Его наиболее яркими чертами являются компетентность и преемственность. Книжникам удалось выработать базовую арифметику и геометрию, необходимые для выполнения ими своих официальных обязанностей в качестве гражданских менеджеров, и их методы сохранялись с незначительными изменениями в течение, по крайней мере, тысячелетия, возможно, двух. Действительно, когда Египет вошел в греческое господство в эллинистический период (с 3-го века до нашей эры), методы старой школы продолжались. Весьма примечательно, что более старые методы дробной части по-прежнему широко распространены в египетских школьных папирусах, написанных на демотическом (египетском) и греческом языках, например, в 7 веке до н.э.
В той степени, в которой египетская математика оставила наследие, она оказала влияние на возникающую греческую математическую традицию между 6 и 4 веками до нашей эры.


2 Вавилонская астрономия и математика.

Рассматривая зарождение астрономии и математики в Древнем Вавилоне следует начать с развития письменности с помощью клинописи, что позволило сохранить записи и знания и передать их из поколения в поколение. Многие из этих записей, хранящихся на глиняных табличках, были обнаружены археологами и переведены, раскрывая информацию о повседневной жизни этих древних людей.
Эти таблички также позволяют современным историкам окунуться в прошлое и исследовать сложные математические методы этих людей, которые являются самой основой взрыва в математике поздних греков. Хотя мы склонны называть математику этой развитой цивилизации вавилонской, другие великие культуры, такие как шумеры и ассирийцы, также способствовали развитию развитой цивилизации в Плодородном полумесяце.
В отличие от египтян, математики старовавилонского периода выходили далеко за рамки непосредственных задач их официальных бухгалтерских обязанностей. Например, они ввели универсальную систему счисления, которая, как и современная система, использовала понятие стоимости места, и они разработали вычислительные методы, которые использовали это средство выражения чисел; они решали линейные и квадратичные задачи методами, аналогичными тем, которые сейчас используются в алгебре; их успех в изучении того, что теперь называется тройками Пифагора, было замечательным подвигом в теории чисел. Писцы, которые сделали такие открытия, должны были полагать, что математика заслуживает самостоятельного изучения, а не просто практического инструмента.
Более старая шумерская система цифр следовала аддитивному десятичному (основание-10) принципу, подобному принципу египтян. Но древне-вавилонская система преобразовала это в систему стоимости места с основанием 60 (шестнадцатеричное). Причины выбора 60 неясны, но одной хорошей математической причиной могло быть существование такого большого количества делителей (2, 3, 4 и 5 и несколько кратных) основания, которое значительно облегчило бы работу разделение. Для чисел от 1 до 59 символы для 1 и для 10 были объединены простым аддитивным способом (например, представлен 32). Но чтобы выразить большие ценности, вавилоняне применили концепцию стоимости места.


Рисунок 2- Пример записи чисел.

Фактически, может представлять любую степень 60. Контекст определял, какая мощность была предназначена. К 3 веку до нашей эры вавилоняне, похоже, разработали символ-заполнитель, который функционировал как ноль, но его точное значение и использование до сих пор не определены. Кроме того, они не имели отметки для разделения чисел на целые и дробные части (как в современной десятичной запятой). Таким образом, трехзначное число 3 7 30 может представлять 31/8 (т. Е. 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (т. Е. 3 × 60 + 7 + 30/60), 11 250 (т. Е. 3 × 602 + 7 × 60 + 30), или кратное из этих чисел на любую степень 60.
Четыре арифметических операции выполнялись так же, как в современной десятичной системе, за исключением того, что перенос происходил всякий раз, когда сумма достигала 60, а не 10

. Умножение облегчалось с помощью таблиц; одна типичная табличка перечисляет кратные числа на 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40 и 50. Чтобы умножить два числа на несколько мест, писец сначала разбил задачу на несколько умножений, каждое на номер одного места, а затем посмотрел стоимость каждого продукта в соответствующих таблицах. Он нашел ответ на проблему, сложив эти промежуточные результаты. Эти таблицы также помогали в делении, так как все значения, которые их возглавляют, были взаимными числами регулярных чисел. [22, c.89]
Вавилоняне разработали систему для записи чисел, используя символы для одиночных, десятков и сотен, показывая, что они, вероятно, использовали десятичную систему для повседневной жизни. Эта система позволила им удобно обрабатывать большие числа и выполнять все основные арифметические функции. Однако нет никаких доказательств того, что они использовали число для нуля, и они не использовали дроби.
Тем не менее, шумеры также использовали систему подсчета 60, по этой причине мы все еще делим круг на 360 градусов и считаем часы, минуты и секунды. Эта полугодовая система использовалась для весов и мер, астрономии и для развития математических функций. Например, одна табличка перечисляет квадраты всех чисел до 602, а шестнадцатеричная нумерация используется для чисел, превышающих 60 - 64, записывается как 60 + 4, 81 как 60 + 21 Эта идея использования позиции для упорядочения целых чисел, известная как принцип положения, является первым известным использованием такой системы, основой нашей десятичной системы.


Рисунок 3- Вавилонский календарь

Это было потеряно до пятого или шестого века нашей эры, и западная культура использовала громоздкую римскую систему нумерации, извилистую и сложную систему для выполнения математики. Их система нумерации подразумевает, что они, возможно, поняли ноль, но до тех пор, пока не будут найдены дополнительные доказательства, это остается в значительной степени предположительным.[11, c.39]
Базовая система 60 также позволяла вавилонянам использовать дроби, и они выражали половину как «30» (30 шестидесятых) и четверть как «15» (15 шестидесятых). Эта система проникла в Грецию и стала предпочтительным способом выражения дробей до тех пор, пока много веков спустя, когда десятичная система стала предпочтительным языком для математиков.
Обычные числа - это те, чьи главные факторы делят базу; таким образом, обратные числа таких чисел имеют только конечное число мест (напротив, обратные числа нерегулярных чисел дают бесконечно повторяющуюся цифру). Например, в базе 10 только числа с множителями 2 и 5 (например, 8 или 50) являются регулярными, а обратные числа (1/8 = 0,125, 1/50 = 0,02) имеют конечные выражения; но обратные значения других чисел (например, 3 и 7) повторяются бесконечно и, соответственно, где полоса указывает цифры, которые постоянно повторяются). В базе 60 только числа с коэффициентами 2, 3 и 5 являются регулярными; например, 6 и 54 являются регулярными, так что их обратные значения (10 и 1 6 40) конечны. Таким образом, записи в таблице умножения для 1 6 40 одновременно являются кратными ее обратной 1/54. Чтобы разделить число на любое обычное число, можно обратиться к таблице умножений для его обратной величины.
Общепринятой причиной использования половой системы является то, что она основана на астрономии и желании вавилонян разработать точные календари, чтобы составить график смены времен года и предсказать лучшие времена для посадки, что особенно важно в культуре с сильной сельскохозяйственная база.
Первоначально вавилоняне считали, что в году 360 дней, и это послужило основой их численной системы; они разделили это на градусы, и это представляло ежедневное движение солнца по небу. Затем они перевели это в измерительные круги, разделив градусы на минуты. Вся наша система астрономии, геометрии и деления дня на часы, минуты и секунды происходит из этого периода истории. [20, c.153]
Благодаря многовековым наблюдениям, вавилонские астрономы разработали свой собственный календарь. Вавилоняне делили день на 12 часов, а час на 30 минут, год у них состоял из 365 дней. Выкладки вавилонских астрономов крайне точны, их могут использовать и современные ученые.
Основное внимание вавилонские астрономы уделяли движению звёзд и планет. Их знания в области движения небесных светил были очень развиты, точность, с которой они вычисляли движений небесных светил, была очень высока. Вавилонские астрономы могли предсказывать затмения и имели представление о предварении равноденствий. Своего расцвета вавилонская астрономия достигла в VIII—VI веках. до н. э. При правлении царя Навуходоносора вавилонская астрономия достигла новых успехов, в частности был выделен зодиак[3].


Рисунок 4- Вавилонская система счисления.

Шумеры, вавилоняне и другие жители долины Евфрата, безусловно, сделали некоторые сложные математические достижения, развивая основы арифметической, числовой записи и используя дроби. Их работа была принята греками, и вполне вероятно, что греки учились математическим методам из вавилонской культуры, поскольку идеи шли по Шелковому пути из Анатолии (Турция) в Китай.
В геометрии, помимо развития степеней, вавилоняне внесли небольшой вклад, стремясь использовать грубые приближения, и мало доказательств того, что они использовали геометрические методы для поднятия своих зданий, предпочитая метод проб и ошибок. Конечно, об этой сложной культуре известно так мало, что еще могут появиться доказательства, раскрывающие их математические методы.
В конечном итоге их знания перешли к грекам и легли в основу чистой математики, поскольку греческие мастера-манипуляторы чисел взяли эти знания и начали исследовать отношения между числами.


3 Особенности развития астрономии и математики в Индии.

Во всех ранних цивилизациях первое выражение математического понимания появляется в форме систем счета. Числа в очень ранних обществах, как правило, были представлены группами линий, хотя позже другим номерам стали присваиваться конкретные цифровые имена и символы как в Индии или они были обозначены буквенными буквами (как в Риме). Хотя сегодня мы принимаем нашу десятичную систему как должное, не все древние цивилизации основывали свои числа на десятибазной системе. В древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная (базовая 60) система.
В Индии в течение периода Хараппа уже существовала десятичная система, о чем свидетельствует анализ весов и показателей Хараппа. Веса, соответствующие отношениям 0,05, 0,1, 0,2, 0,5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, были идентифицированы, как и весы с десятичными делениями. Особенно примечательной характеристикой весов и мер Хараппана является их замечательная точность. Бронзовый прут, отмеченный в единицах 0,367 дюйма, указывает на степень точности, требуемую в те времена. Такие масштабы были особенно важны для обеспечения надлежащего выполнения правил городского планирования, которые требовали, чтобы дороги фиксированной ширины проходили под прямым углом друг к другу, чтобы стоки строились с точными измерениями, а дома строились в соответствии с указанными руководящими принципами. Существование градуированной системы точно обозначенных весов указывает на развитие торговли и коммерции в хараппском обществе.[18, c.201]
В ведический период записи о математической деятельности в основном можно найти в ведических текстах, связанных с ритуальной деятельностью. Однако, как и во многих других ранних земледельческих цивилизациях, изучение арифметики и геометрии также стимулировалось светскими соображениями.
Таким образом, в некоторой степени ранние математические разработки в Индии отражали события в Египте, Вавилоне и Китае. Система земельных грантов и налоговых оценок в сельском хозяйстве требовала точного измерения посевных площадей. По мере того как земля перераспределялась или консолидировалась, возникли проблемы с мансурацией, которые требовали решения. Чтобы все земледельцы имели одинаковое количество орошаемых и неорошаемых земель и участки с одинаковым плодородием - отдельным фермерам в деревне часто приходилось разбивать свои хозяйства на несколько участков, чтобы обеспечить справедливость. Поскольку все графики не могли иметь одинаковую форму, местные администраторы должны были преобразовывать прямоугольные или треугольные графики в квадраты эквивалентных размеров и так далее. Налоговые оценки были основаны на фиксированных пропорциях годовых или сезонных доходов от сельскохозяйственных культур, но могли быть скорректированы в сторону увеличения или уменьшения в зависимости от множества факторов. Это означало, что понимание геометрии и арифметики было практически необходимо для администраторов доходов. Таким образом, математика была поставлена на службу как светской, так и ритуальной области. [5, c.38]
Арифметические операции (Ганит), такие как сложение, вычитание, умножение, дроби, квадраты, кубы и корни, перечислены в Нарад Вишну Пуране, относящейся к Вед Вьяс (до 1000 г. до н.э.). Примеры геометрических знаний (реха-ганит) можно найти в «Сулва-сутрах» Баудхайаны (800 г. до н.э.) и Апастмаба (600 г. до н.). Сутра Баудхайаны отображает понимание основных геометрических форм и методов преобразования одной геометрической формы (такой как прямоугольник) в другую эквивалентной (или множественной, или дробной) области (такой как квадрат). Хотя некоторые из формулировок являются приблизительными, другие являются точными и раскрывают определенную степень практической изобретательности, а также некоторое теоретическое понимание основных геометрических принципов. Современные методы умножения и сложения, вероятно, возникли из техник, описанных в Сулва-сутрах.
Пифагор - греческий математик и философ, живший в 6 в. До н. Э., Был знаком с Упанишадами и изучал его основную геометрию из Сулва Сутр. Раннее утверждение о том, что обычно называют теоремой Пифагора, можно найти в сутре Бодхайяны: аккорд, растянутый по диагонали квадрата, дает площадь, вдвое превышающую размер. Аналогичное наблюдение, относящееся к продолговатым, также отмечено. Его сутра также содержит геометрические решения линейного уравнения в единственном неизвестном. Примеры квадратичных уравнений также появляются. Сутра Апастхамбы (расширение Baudhayana's с несколькими оригинальными вкладами) обеспечивает значение для квадратного корня из 2, которое с точностью до пятого десятичного знака. Апастхамба также рассмотрел проблемы возведения в квадрат круга, разделения сегмента на семь равных частей и решения общего линейного уравнения. Джайнские тексты 6-го века до н.э., такие как Сурья Праджьяпти, описывают эллипсы. [22, c.158]
Особенно важным событием в истории индийской науки, которое должно было оказать глубокое влияние на все последующие математические трактаты, была новаторская работа Панини (6 в. До н.э.) в области грамматики и лингвистики санскрита. Помимо объяснения всесторонней и научной теории фонетики, фонологии и морфологии, Панини представил формальные правила производства и определения, описывающие грамматику санскрита в его трактате под названием Астхадхьяйи. Основные элементы, такие как гласные и согласные, части речи, такие как существительные и глаголы, были помещены в классы. Конструкция составных слов и предложений была разработана с помощью упорядоченных правил, действующих на базовые структуры способом, аналогичным теории формального языка.
Философские учения также оказали глубокое влияние на развитие математических концепций и формулировок