Аппроксимация экспериментальных данных полиномом первой степени методом наименьших квадратов

Введение
Необходимость аппроксимации функциональных зависимостей, заданных множеством экспериментальных данных, достаточно часто возникает при исследовании различных систем, в том числе физических, экономических и т.п. Аппроксимация – приближенное выражение каких-либо величин через другие, известные величины.
В алгоритмах обработки экспериментальной информации часто возникает необходимость представления эмпирических зависимостей между параметрами, описывающих поведение сложной системы. Нахождение таких зависимостей осуществляется с помощью различных методов аппроксимации функций. Например, кривые линии можно аппроксимировать ломаными, непрерывные функции – многочленами и т.д. Задачей аппроксимации при обработке дискретных экспериментальных данных (результатов опытов, полученных при различном условии его проведения) является определение математической функции некоторого определенного вида, имеющей наилучшее приближение к экспериментальным данным.
В данной работе представлено теоретическое описание аппроксимации экспериментальных данных полиномом первой степени методом наименьших квадратов и рассмотрено решение конкретной задачи с заданными числовыми параметрами.
аппроксимация линейной функцией
Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции) g(x), которая была бы близка заданной

. Критерии близости функций могут быть различные. В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной. В качестве функции g(x) обычно выбирается полином. Определив аппроксимирующую функцию, можно вычислить значения функции между заданными экспериментальными точками, а также определить значение функции за пределами заданного интервала.
Опишем аппроксимацию экспериментальных данных полиномом первой степени методом наименьших квадратов.
Любая линейная функция может быть записана уравнением
Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой. С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:
Решение поставленной задачи сводится к нахождению экстремума указанной функции двух переменных. С этой целью находим частные производные функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю.
Решаем полученную систему уравнений
Определяем значения коэффициентов
(1)
Приведем пример реализации аппроксимации экспериментальных данных полиномом первой степени методом наименьших квадратов для конкретных данных.
решение практической задачи
Постановка задачи.
В результате эксперимента были получены следующие данные, определяющие зависимость параметра y от параметра х, представленные в таблице 1.
Таблица 1