Аналитический подход к построению математических моделей

Введение

При проведении системного анализа важное место в эконометрике занимает построение моделей. Моделирование состояния системы является удобным инструментом для представления имеющихся данных в подходящем для исследования виде, а также помогает спрогнозировать те или иные явления и поведение системы в предполагаемых обстоятельствах.
Экономика использует большое количество математических методов для формирования объективной картины функционирования и развития народного хозяйства. Для этого данная наука оперирует различными параметрами и характеристиками исследуемых производств и предприятий.
Ярким примером применения математических исследований в экономике является использование оптимизационных методов, а также методов математического моделирования. Среди подобных методик можно выделить теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук. Поэтому исследование принципов моделирования в экономике будет актуальным во все времена.
Цель данной работы – изучить принципы аналитического подхода к построению математических моделей.


1 Основные подходы к построению математических моделей
В целях отражения основных параметров исследуемой системы зачастую прибегают к построению ее математической модели, т.е. представлению процессов системы и существующих зависимостей посредством языка уравнений или иных математических средств и операций. Так описание системы переходит от содержательного к формальному.
Для выделения существующих подходов к построению математических моделей необходимо проследить весь процесс создания модели.
Первоначальной стадией является сбор исходных данных. Сюда относят данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы. На данном этапе происходит абстрагирование и выбор конкретной математической схемы, которая позволит реализовать моделирование с учетом тех вопросов, которые интересуют исследователя, без учета второстепенных зависимостей и процессов. Данный этап носит название построения аналитической модели.
Следующим этапом является построение математической схемы описания системы. Известно, что для каждой системы существует определенный набор параметров и характеристик, которые наглядно отображают процессы, происходящие в системе, а также поведение системы в определенных условиях. Помимо этого, учитывают также параметры, характеризующие взаимосвязи системы с окружающими объектами.
В основе построения математической модели системы лежит необходимость приведения полных и достоверных данных. Данное требование выполняется за счет точного определения границ самой системы, а также области ее взаимодействия с окружающими объектами и внешней средой. Именно на данном этапе выделяют основные и второстепенные характеристики системы на основе преследуемых целей моделирования.
Заключительный этап – непосредственное построение математической модели

. Здесь происходит упорядочивание свойств и процессов, а также соотносятся свойства модели и реального объекта с некоторой заданной степень приближения к действительности.
На рисунке 1 приведены основные характеристики существующих подходов к моделированию системы.

Рисунок 1 – Подходы к моделированию систем
Сам процесс математического моделирования может быть представлен схемой, приведенной на рисунке 2.
Данная схема наглядно демонстрирует все этапы разработки модели в самом полном ее варианте.
Однако не всегда требуется подобная подробная разработка модели.
Определение целей моделирования
Огрубление объекта (процесса)
Поиск математического описания
Исходный объект (процесс)
Математическая модель
Выбор метода исследования
Уточнение модели
Анализ результатов
Конец работы
Разработка алгоритма и программы для ЭВМ
Отладка и тестирование программы
Расчеты на ЭВМ
Определение целей моделирования
Огрубление объекта (процесса)
Поиск математического описания
Исходный объект (процесс)
Математическая модель
Выбор метода исследования
Уточнение модели
Анализ результатов
Конец работы
Разработка алгоритма и программы для ЭВМ
Отладка и тестирование программы
Расчеты на ЭВМ

Рисунок 2 - Общая схема процесса моделирования
В большинстве случаев исследуется только функционал системы. Для этого нужны математические формулировки законов функционирования системы.
Для решения данной задачи и используют аналитический подход в создании модели системы.


2 Основные принципы аналитического подхода
Основным принципом аналитического моделирования становится описание функциональных процессов в системе с использованием логических выражений или различного рода уравнений.
Данный подход является основополагающим в становлении теории моделирования систем. Именно с него начинались первые попытки описать происходящие в системах процессы.
При построении аналитической модели исследуемый объект упрощается до состояния элементарного объекта. Построение модели его взаимодействия с другими системами или моделирование внутренних связей и закономерностей является трудоемкой задачей, но вместе с тем подобная модель позволяет получать все необходимые результаты на основе полного набора данных.
Данный вид моделирования применим только в случае точно известного поведения того или иного процесса в некотором интервале времени. При этом подобных данных должно быть достаточно для полного определения протекания данного явления вне известного временного интервала.
Применение данного вида моделей предполагает выявление всех определенных связей в системе, а также четкую формулировку целей построения модели системы в виде аналитических выражений