Аналитические методы доказательства неравенств

Введение

В школьном курсе математики линия неравенств тесно связана с другими основными линиями: с развитием понятия числа и операциями над числами, с тождественными преобразованиями выражений с переменной, с функциями и др.
В теме «Неравенства» рассматриваются задачи на доказательство неравенств и решение неравенств [1]. Как показывает практика, именно при доказательстве неравенств обучающиеся чаще всего испытывают затруднения, которые обусловлены рядом причин.
Во-первых, в большинстве случаев школьникам с трудом дается понимание связей, существующих между условием и заключением, а также осмысление самого процесса доказательства неравенств; во-вторых, данному вопросу в учебном курсе уделяется недостаточно внимания.
Доказательство неравенств как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения неравенств. Доказательство обычно основывается на эвристике, а не на алгоритмах. Поскольку задачи на доказательство неравенств особенные, они часто встречаются на математических олимпиадах школьников.
Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Однако логика и идеи всей цепочки этих элементарных рассуждений выходят за рамки методов и приемов, изучаемых в школьном курсе.
Актуальность темы «Аналитические методы доказательства неравенств» подтверждается и тем фактом, что неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия.
Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.
Для практического использования полезно понятие числового неравенства задавать следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (разностным определением неравенства): число a больше числа b тогда и только тогда, когда раз ность a−b является положительным числом; число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число

.
Аналогично формулируются определения отношений «меньше или равно» и «больше или равно». На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств, среди которых выделяют три основных – свойства отношений «меньше» и «больше», «меньше или равно» и «больше или равно». Эти свойства называют основными, поскольку, во-первых, они являются отражением свойств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам; во-вторых, они используются в качестве приемов при решении и доказательстве неравенств. Для решения задач знания и умения применять только основные свойства числовых неравенств недостаточно. Поэтому целесообразно дополнить их рядом других свойств, которые также имеют немаловажное практическое значение.


1. Суть аналитических методов доказательства неравенств

В большинстве практических случаев может оказаться так, что применение известных приемов доказательства неравенств (доказательство при помощи определения [2], синтетический метод [3], доказательство неравенств методом от противного [4] и т.д.) не приводит к необходимому результату, поскольку доказательство неравенства по определению может не быть реализовано из-за громоздкости и сложности преобразований, а синтетический метод не удается применить в связи с тем, что не понятно, из каких именно опорных неравенств целесообразно начать доказательство.
Одним из возможных вариантов в этом случае возможно применение аналитического метода.
Его суть заключается в том, что после ряда преобразований неравенства, которое необходимо доказать, получают некоторое очевидное верное неравенство. На языке логики можно реализовать следующую схему такого поиска:

где B - неравенство, которое нужно доказать, Ai (i=1,2,…,n-1) - получены из этого неравенства, An - конечное верное неравенство.
Реализация такой схемы носит название анализа Евклида. Естественно, что нахождение неравенства An не может завершить доказательство, поскольку импликация B→An может быть верной и в случае, когда утверждение B - ложное. Поэтому следующим этапом доказательства должно быть обоснование возможности осуществления обратных соображений, то есть истинности импликаций:


Фактически теперь мы реализуем схему синтетического метода, причем начальное опорное неравенство этого метода (в нашем случае - это утверждение An) известно.
Суть синтетического метода заключается в том, что с помощью определенных преобразований неравенство, которое необходимо доказать, выводят из некоторых известных (очевидных, или их еще называют опорных) неравенств