Сходимость несобственных интегралов

Рассмотрим признаки и критерии, которые позволяют доказать сходимость несобственного интеграла или показать, что он расходится.
Теорема. Если интеграл J=abfxdx сходится, то J=abfxdx тоже сходится, и справедливо неравенство:
abfxdx≤abfxdx.
Для исследования несобственных интегралов применяют критерий Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл
abfxdx
и положим, что
а) функция fx определена на промежутке a,b;
б) функция fx интегрируема по Риману на отрезке a,ξ при любом ξ∈a,b.
По определению для сходящегося интеграла:
abfxdx=limξ→b-0aξfxdx, b≠+∞.
a+∞fxdx=limξ→+∞aξfxdx, b=+∞.
Рассмотрим критерий сходимости Коши. Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
∀ε0 ∃δε∈a,b: ∀ξ',ξ''∈δε,b=ξ'ξ''fxdxε

.
Доказательство
Fξ=aξfxdx, a≤ξb.
Существование предела функции Fξ
∀ε0 ∃δε∈a,b: ∀ξ',ξ''∈δε,b=Fξ''-Fξ'ε.
Fξ''-Fξ'=ξ'ξ''fxdx.
Если условие Коши не выполняется, то есть
∃ε00 ∀δε∈a,b: ∃ξ',ξ''∈δε,b=ξ'ξ''fxdxε0.
Пример. Используем критерий Коши для оценки сходимости интеграла
Iα=1+∞sin2xxαdx.
Рассмотрим сходимость при разных значениях параметра α. Пусть α1. Тогда
0≤1+∞sin2xxαdx≤1xα
и интеграл сходится. Покажем, что он расходится при α≥1. Для этого нужно показать, что выполняется условие, обратное условию Коши
∃ε00 ∀δε∈a,b: ∃ξ',ξ''∈δε,b=ξ'ξ''fxdxε0.
ξ'ξ''sin2xxαdx=πn2πnsin2xxαdx≥πn2πnsin2xxdx≥12πnπn2πn1-cos2x2dx=14πnπn=14=ε0.
Таким образом, можно подобрать ε0, чтобы выполнялось неравенство
ξ'ξ''sin2xxαdxε0.
Пример
Исследуем на сходимость интеграл
J=01dxxα.
Пусть
Fξ=ξ1dxxα.
Fξ=11-α1-ξ1-α, α≠1,-lnξ, α=1
При α1 существует конечный предел
limξ→+0Fξ=11-α.
При α1 конечного предела не существует:
Fα;ξ→+∞ при ξ→+∞ .
Интеграл J=01dxxα сходится при α1 и расходится при α1.
Признаки Дирихле и Абеля
Теорема