Расчет основных погрешностей измерений

В данном подразделе курсовой работы проведен расчет погрешностей измерений по номеру варианта (вариант 8). Ниже приведены задания и их решения.
При многократном измерении длины L получены значения в миллиметрах: 34,2; 34,0; 34,4; 33,7; 34,3; 33,9; 34,2. Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью Р=0,98 (=3,143).
Дано:
P=0,98;
tp=3,143;
L1=34,2 мм.;
L2=34,0 мм.;
L3=34,4 мм.;
L4=33,7мм.;
L5=34,3мм.;
L6=33,9мм.;
L7=34,2мм. Решение:
Находим среднее арифметическое значение семи результатов измерений длины по формуле 4:
L=34,2 +34,0+34,4+33,7+34,3+34,9+34,27;
L=34,1 мм.
Средняя квадратическая погрешность результата измерения среднего арифметического считается по формуле:
σL=i=1nLi-L2n(n-1)
σL=34,2-28,1+(34-28,1)2+..+(34,2-34,1)27(7-1);
σL= 0,09 мм.
Границы доверительного интервала находятся по формуле:
L-tp∙σL, L+tp∙σL,
tp∙σL=3,143∙0,09=0,28≈0,3 мм.;
L=L±tp∙σL=34.1±0,3=33,8;34,4 мм.
L±tp∙σL – ? Ответ: Доверительные границы истинного значения длины с вероятностью P=0,98 находятся в пределах от 33,8 до 34,4мм.
2. После округления получены следующие результаты измерений: А=(37,3±0,2) с; В=(13,7±0,4) мм; С=(468±6) г. Чему равны относительные погрешности в данных результатах? Какие физические величины представляют А, В, С?
Дано:
А= (37,3±0,2) с.;
В = (13,7±0,4) мм.;
С = (468±6) г. Решение:
Находим относительную погрешность измерений по формуле:
δA=∆AA∙100%=0,237,3∙100%=0,536%;
δB=∆BB∙100%=0,413,7∙100%=2,92 %;
δC=∆CC∙100%=6468∙100%=1,28%.
δA, δB, δC– ? Ответ:
Относительная погрешность первого результата измерений δA=0,53%, второго – δB=2,92 %, третьего – δC=1,28 %.
Физические величины: A – время, B – длина, C – масса.
Задача 3
Результаты измерений диаметра диска соответствуют: 51,4; 51,6; 51,8; 51,7; 50,9; 50,8; 51,0 мм. Чему равна площадь диска? Овеет записать в стандартной форме с учётом правил округления абсолютной и относительной погрешностей.
Дано:
X1=51,4 мм.;
X2=51,6 мм.;
X3=51,8 мм.;
X4=51,7 мм.;
X5=50,9 мм.;
X6=50,8 мм.;
X7=51 мм. Решение:
Находим площадь диска по формуле:
S=π∙R2=π∙X24,
где R – радиус диска.
Площадь диска для каждого значения измеренного диаметра:
S1=π∙X124=π∙51,4 42=2073,94 мм2;
S2=π∙X224=π∙51,624=2090,11 мм2;
S3=π∙X324=π∙51,824=2106,34 мм2;
S4=π∙X424=π∙51,724=2098,22 мм2;
S5=π∙X524=π∙50,924=2033,79 мм2;
S6=π∙X624=π∙50,824=2025,8 мм2;
S7=π∙X724=π∙51,024=2041,79 мм2.
Находим среднее арифметическое значение площади диска:
S=1 72073,94+2090,11+2106,34+2098,22 + 2033,79+2025,8 +2041,79;
S=2067,141 мм2.
Находим абсолютные значения погрешности отдельных значений площади (модуль погрешности) по формуле:
∆Si=S-Si,
∆S1=│2067,14 –2073,94│=│– 6,8│= 6,8 мм2;
∆S2=│2067,14 –2090,11 │=│– 22,97│= 22,97 мм2;
∆S3=│2067,14 – 2106,34 │=│– 39,2│= 39,2 мм2;
∆S4=│2067,14 – 2098,22 │=│– 31,07│= 31,07мм2;
∆S5=│2067,14 –2033,79│=│33,35│= 33,35 мм2;
∆S6=│2067,14– 2025,8 4│=│41,34│= 41,34 мм2;
∆S7=│2067,14– 2041,79│=│25,36│= 25,36 мм2.
Находим среднее арифметическое значение абсолютных значений погрешности по формуле 4:
∆S=176,79+22,96 +39,2+31,07+33,35+41,34 +25,36=28,59мм2.
Находим относительную погрешность измерения:
δS=(28,59/2067,14)∙100%=1,38%.
Площадь диска:
S = 2067± 29 мм2.
S– ?
Ответ:
Площадь диска S = 2067 ± 29 мм2.
Определение доверительного интервала
4

. Произведено 10 измерений сопротивления резистора с результатами:
Номер измерения Номер варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Сопротивление, кОм
1 0,4 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,4 0,3 0,4 0,5
2 0,5 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 0,5 0,5 0,5 0,6
3 0,3 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,2 0,3 0,3 0,5
4 0,6 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0 0,7 0,6 0,8 0,8
5 0,7 0,6 0,8 0,9 1,0 1,1 0,8 0,7 0,7 0,9
6 0,5 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 0,6 0,5 0,5 0,7
7 0,8 0,7 0,9 1,0 1,1 1,2 0,9 0,8 0,8 0,5
8 0,4 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,5 0,4 0,5 0,4
9 0,6 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0 0,7 0,6 0,7 0,3
10 0,5 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 0,6 0,5 0,6 0,2
Предполагая закон распределения полученных результатов нормальным, определить доверительный интервал истинного значения сопротивления резистора с доверительной вероятностью Р = 0,95.
Дано:
R1= 0,4 кОм;
R2= 0,5 кОм;
R3= 0,3 кОм;
R4= 0,8 кОм;
R5= 0,7 кОм;
R6= 0,5 кОм;
R7= 0,8 кОм;
R8= 0,5 кОм;
R9= 0,7 кОм;
R10= 0,6 кОм;
P=0,95. Решение:
Находим среднее арифметическое значение результатов измерений:
R= 1100,4+0,5+0,3+0,8+0,7+0,5+0,8+0,5+0,7+0,6=0,58 кОм.
Средняя квадратическая погрешность результата измерения среднего арифметического:
σR=0,053кОм.
Из таблицы находим коэффициент Стьюдента tp. Для значения Р = 0,95 при числе измерений n=10: tp=2,228.
Границы доверительного интервала (формула 9):
tp∙σR=2,228∙0,053=0,119кОм;
R=R±tp∙σR=0,58±0,11=0,47; 0,69 кОм.
R±tp∙σR– ? Ответ:
Истинное значение сопротивления резистора с доверительной вероятностью P=0,95 находится в доверительном интервале от 0,47 до 0,69 кОм.
Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов)
5. При измерениях напряжения переменного электрического тока с помощью цифрового вольтметра получены результаты в виде вариационного ряда – последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего. Определить, является ли промахом значение напряжения 14,1 В, используя соответствующий критерий?
Номер измерения 1 2 3 4 5 6 7
U, В 14,1 16,2 16,3 16,5 16,5 16,3 16,6
Номер измерения 8 9 10 11 12 13 14
U, В 16,6 16,6 16,7 16,8 16,8 16,9 16,9
Дано:
U1 = 14,1 В;
U2 = 16,2 В;
U3 = 16,3 В;
U4 = 16,5 В;
U5 = 16,5 В;
U6 = 16,3 В;
U7 = 16,6 В;
U8 = 16,6 В;
U9 = 16,6 В;
U10 = 16,7 В;
U11 = 16,8 В;
U12 = 16,8 В;
U13 = 16,9 В;
U14 =16,9 В. Решение:
Так как число измерений меньше 20, то целесообразно применить критерий Романовского.
Находим среднее арифметическое значение результатов измерений, не учитывая проверяемое значение, по формуле 4:
U= 11414.1+16,2+16,3+16,5+16,5+16,3 +16,6+16,6+16,6+16,7 +16,8+16,8+16,9+16,9 =16,41В.
Для оценки рассеяния отдельных результатов Ui измерения относительно среднего U определяем СКО:
σU=0,7 В.
Вычисляем отношение и полученное значение сравниваем с теоретическим βτ.
По критерию Романовского при Р = 0,05, n = 14. βτ = 2,8.
β=U-UiσU=16,41-14,10,7=3,3.
Так как β≥βτ, то критерий свидетельствует о необходимости отбрасывания результата U1.
Является ли U1 промахом? Ответ:
Измеренное значение напряжения U1=14,1 В является промахом и исключается из результатов измерений.
6 При измерениях вала Ø47h12(-0,25) получены следующие результаты (мм): 46,72; 46,75; 46,76; 46,80; 46,81; 46,82; 46,82; 46,83; 46,85; 46,87; 46,88; 46,88; 46,90; 46,91; 46,92; 46,92; 46,93; 46,94; 46,96; 46,98; 46,99