Приближённые вычисления в задачах курса математики основной школы

В данном пункте рассмотрим методику преподавания темы «Приближенные вычисления» в основной школе и список типовых задач, предлагаемых авторами учебников для базового уровня обучения.
Рассматриваемая нами тема имеет практическую направленность, демонстрирует связи математики с другими науками и окружающим миром. В процессе обучения данной теме крайне важно приводить учащимся примеры межпредметных связей, проводить аналогии, акцентировать внимание детей на практическое применение полученных знаний.
Изучение темы начинается в 5 – 6 классах. На первых уроках темы учащиеся могут испытывать затруднения, поскольку привыкли, что математика оперирует точными значениями. Детям становится сложно проводить оценку и прикидку. Для предупреждения и устранения этих трудностей учитель может также использовать задачи практической направленности. Например, предложить оценить итоговую стоимость покупки по списку с точностью до десятков рублей, оценить площадь комнаты с точностью до квадратного метра, оценить размер предоставляемой скидки в рублях, с точностью до сотен. Более эффективным будет обучение, если предложить учащимся самим составить данные задачи в качестве творческого, проектного или домашнего задания.
Рисунок 1
Рисунок 2
Задача 11. Не проводя вычислений, оценить размер скидки, которую получит покупатель в каждом варианте покупки в рублях (с точностью до сотен): а) на рисунке 1; б) на рисунке 2.
Решение.
а) При покупке на сумму 5000 рублей покупатель получит
5000:100∙20 = 5000/5 = 1000
рублей скидки.
При покупке на сумму 4000 рублей покупатель получит
4000:100∙15=600
рублей скидки.
При покупке на сумму 3000 рублей покупатель получит
3000:100∙10 = 3000/10 = 3000
рублей скидки.
б) При покупке на сумму от 3000 до 5000 рублей покупатель получит от 90 до 150 рублей скидки, от 5000 до 10000 рублей от 250 до 500 рублей скидки, от 10000 до 15000 рублей от 700 до 1050 рублей скидки, от 15000 до 35000 рублей от 1200 до 2800 рублей скидки, от 35000 до 50000 рублей от 3500 до 5000 рублей скидки.
Перед решением данной задачи необходимо повторить навыки устного счета, в частности – умножение и деление на 10, 100, 1000; правило нахождения процента от числа.
Изучение приближенных вычислений начинается, как правило, в 5 – 6 классах с понятий «приближение числа» и «округление чисел»

. Непосредственно перед изучением темы рекомендуется провести эвристическую беседу с учащимися о том, для чего в жизни используется приближенное число, и в каких случаях мы округляем числа. Пример вопросов к такой беседе:
На Земле растет около 350000 видов растений. 350000 – это точное число видов или приблизительное? Можно ли вычислить точное число видов?
На обложке словаря русского языка указано, что в нем около 57000 слов. 57000 – это точное число слов или приблизительное? Можно ли вычислить точное число слов в словаре? Нужно ли это делать?
Расстояние от Земли до Луны 380000 километров. 380000 – это точное расстояние, или приблизительное? Можно ли вычислить точное расстояние?
Далее делается вывод о приблизительных числах и их значимости в обыденной жизни. Акцентируется внимание на их «круглости», то есть на том, что они оканчиваются нулями [18]. Логическим окончанием урока будет проблемный вопрос – как «округлить» число? И совместное отыскание ответа на этот вопрос, заканчивающееся выводом правила округления чисел.
На последующих уроках знания учащихся расширяются за счет изучения новых понятий, связанных с округлением – округление по недостатку, округление по избытку.
На следующем этапе обучения, в 7 – 9 классах, в рамках алгебры, учащиеся знакомятся с понятием «погрешность». Для введения нового понятия можно использовать цепочку упражнений, в которых производится округление одного и того же числа с различной точностью.
Задача 12. Округлите число π с точностью до: а) целых; б) десятых; в) сотых; г) тысячных; д) десятитысячных. Которое приближенное число ближе к значению π?
Решение.
а) π ≈ 3;
б) π ≈ 3,1;
в) π ≈ 3,14;
г) π ≈ 3,142;
д) π ≈ 3,1416;
е) π ≈ 3,14159.
Ближе к числу π ответ под буквой е).
Задача 14. Расстояние между городами составляет 364,48 км. Какое утверждение наиболее точно и почему:
а) между городами около 400 км;
б) между городами около 360 км;
в) между городами около 364 км;
г) между городами около 364,5 км.
Решение. Найдем разность между точным и приближенным расстояниями:
а) 35,52 км;
б) 4,48 км;
в) 0,48 км;
г) 0,02 км.
Ответ под буквой г) более точен, так как расхождение минимально.
После решения подобных задач учащимся будет легче воспринимать понятия «абсолютной погрешности» и «абсолютной предельной погрешности»