Приближённые вычисления с использованием дифференциального исчисления

Применение дифференциального исчисления к приближённым вычислениями обычно основывается на использовании формулы, содержащей дифференциал:
fx1≈fx0+f'x0dx.
Среди задач на приближенные вычисления с помощью дифференциального исчисления можно выделить следующие типы:
1. вычисление приближенного значения функции;
2. вывод формулы для приближенного вычисления;
3. приближенное нахождение иррациональных чисел;
4. нахождение приближенных решений алгебраических и трансцендентных уравнений [19].
Решение большинства примеров по данной теме производится по следующему алгоритму:
1. Выбрать «удобную» точку x0, то есть точку, достаточно близкую к x1, в которой значение функции может быть найдено точно;
2. Вычислить значение функции f(x) в точке x0;
3. Вычислить приращение аргумента dx= x1 x0;
4. Найти производную функции f(x);
5. Вычислить значение производной функции f'(x) в точке x0;
6. Вычислить приближенное значение функции с помощью формулы f(x1)≈f(x0)+f'(x0)dx.
Задача 6. Вычислить приближенное значение 367

.
Решение задачи сводится к нахождению значения функции f(x)=3x в точке x1=67.
1. Возьмем x0=64, так как это ближайшее число к 67, в котором вычисляется значение функции точно.
2. Вычислим значение функции f(x) при x0=64
fx=364=4
3. Найдем приращение аргумента dx= x1 x0=67-64 =3.
4. Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3x'=x13'=13x-23=133x2
5. Вычислим значение производной функции f'(x) при x=64:
f'(64) = 133642=13∙16=148
6. Воспользуемся формулой приближенного вычисления функции:
fx1≈fx0+f'x0dx.
f67≈f64+f'64∙3=364+148∙3= 4+0,0625=4,0625.
367≈ 4,0625.
Задача 7. Вычислить приближенное значение tg 47°, результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение.
Решение задачи сводится к нахождению значения функции f(x)=tg x в точке x1=47°. В примерах с тригонометрическими функциями удобно переводить градусные меры в радианы.
1. Возьмем x0=45°=π4, так как это ближайшее число к 47°, в котором вычисляется значение функции точно.
2. Вычислим значение функции f(x) при x0=45°=π4
fx=tg45°=tgπ4=1
3