Приближённые вычисления: основные понятия, виды погрешностей

Идея применения приближенных вычислений состоит в том, чтобы вместо громоздкого, сложного в восприятии числа, взять другое, близкое к нему по значению, и оценить, насколько точными оказались наши расчеты после замены числа. Для более полного изучения интересующей нас темы рассмотрим ее основные понятия.
Значащей цифрой числа называется любая его цифра, отличная от нуля, и 0, если он содержится между значащими цифрами.
Задача 1. Выписать значащие цифры чисел А = 0,0030801, В = 12000 и С = 0,0120500.
Решение. А = 0,0030801 – здесь только первые три нуля не являются значащими; В = 12000 – здесь последние три нуля незначащие; С = 0,0120500 – здесь первые 2 и последние 2 нуля не значащие.
Округление числа это замена числа на его приближённое значение с заданной точностью, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Модуль разности между заменяемым и заменяющим числом называется ошибкой округления.
Правило округления. При округлении до -го знака: если (n + 1)-ый знак меньше 5, то n-й знак сохраняют, а n + 1-ый и все последующие обнуляют; если (n + 1)-ый знак больше или равен 5, то n-й знак увеличивают на единицу, а (n + 1)-ый и все последующие обнуляют.
Задача 2. Округлите: а) 13,025 до сотых; б) 8,764 до сотых; в) 45230 до тысяч; г) 13,45 до целых.
Решение.
а) 13,025 ≈ 13,03;
б) 8,764 ≈ 8,76;
в) 45230 ≈ 45000;
г)13,45 ≈ 13.
Также в теории рассматривают округления по недостатку и по избытку. Если в процессе округления приближенное число стало меньше исходного, то говорят, что число округлили по недостатку

. И наоборот, если приближенное число стало больше исходного, то говорят, что число округлили по избытку. В примере 2 число 13,025 округляют по избытку, а остальные – по недостатку.
Правила округления по недостатку и по избытку:
1. При округлении данного положительного числа до -го разряда по недостатку все его цифры до n-го разряда включительно сохраняют без изменения, а остальные отбрасывают; при округлении данного отрицательного числа до n-го разряда по недостатку до его цифры n-го разряда прибавляют единицу, а все последующие цифры отбрасывают.
2. При округлении данного положительного числа до -го разряда по избытку до цифры n-го разряда его округления по недостатку прибавляют единицу; при округлении данного отрицательного числа до n-го разряда по избытку все его цифры до n-го разряда включительно сохраняют без изменения, остальные отбрасывают.
Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что a A, то a называется приближенным значением по недостатку; если же aА, то – по избытку. Если a есть приближенное значение числа А, то пишут a≈ А. [17].
Задача 3. Укажите округление по избытку и по недостатку для числа π с точностью до тысячных.
Решение. Для π число 3,141 будет приближенным значением по недостатку, а 3,142 – по избытку, так как 3,141 π 3,142.
Под ошибкой или погрешностью ∆a приближенного числа a обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и приближенным, то есть ∆a = А a [17]