Основы статистических испытаний сетевой модели

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) представляет собой совокупность приёмов и правил, позволяющих моделировать вероятностные процессы с применением аппарата случайных чисел. Этот метод в настоящее время является наиболее универсальным из численных методов решения математических, инженерных, экономических и любых других задач, имеющих и вероятностный и детерминированный характер.
Метод основан на многократном проигрывании процессов на построенной модели с целью получения как можно большего числа значений количественных характеристик. Затем полученные значения подвергаются статистической обработке, что позволяет выявить соответствующие закономерности данного процесса в виде ряда количественных оценок. Например, многократно изменяя длительность работ сетевой модели, можно в итоге получить выборку значений длительности критического пути, на основании которой оценить вероятность выполнения проекта в заданные сроки.
Решение задач методом Монте-Карло включает следующие этапы:
- разработка и построение сетевого графика;
- выполнить расчёт основных показателей сетевой модели;
-оценить надёжность сетевой модели с помощью статистических испытаний;
- накопление результатов моделирования, их статистическая обработка, анализ и обобщение.
Для моделирования процесса используется таблицы случайных чисел. Такие таблицы имеются в справочной литературе.
В методических указаниях используется таблица нормальных нормированных случайных отклонений γ. С её помощью многократно изменяются продолжительности работ ti (для каждой работы) сетевой модели:
ti = Тож + σiγ, (5)
где σ = σ2 - среднее квадратичное отклонение от Тож;
γ- нормированное случайное отклонение в долях σ (приложение 2).
Изменив продолжительности работ сетевой модели, производим её расчёт с целью определения длины критического пути Ткр. Такой однократный расчёт при статистических испытаниях принято называть реализацией модели. Проведя N реализаций сетевой модели, получим в итоге N значений продолжительности критического пути. При этом часть значений Ткр будет удовлетворять условию:
Ткр≤Тд, (6)
где Тд-директивный срок (заданный) выполнения комплекса работ.
Вероятность выполнения этого условия
Р(Ткр≤Тд) = limNiN
N→ ∞
При достаточно большом числе N на основе статистической обработки значений ti, σi, Ткр и других показателей можно с определённой степенью достоверности установить законы распределения случайных величин и осуществить имитационное моделирование производственного процесса.
6.2. Оценить надёжность выполнения комплекса работ в срок Тд методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) при десяти реализациях (вариантах) сетевой модели.
Для каждой реализации составляется своя таблица по форме таблицы 6.
Таблица 6 – Первая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,202 6 6 13 19 6 1 - 2
2 - 3 8 2,23 0,42 9 15 23 31 23  
2 - 4 12 3,16 2,417 19 25 37 49 27  
2 - 5 0 0 0,26 0 6 6 6 6  
3 - 6 9 2,45 -0,353 8 29 38 47 29  
4 - 6 13 3,46 -2,555 4 29 42 55 29  
5 - 7 13 3,46 0,66 15 19 32 45 19 5 - 7
5 - 9 28 7,14 0,077 28 33 61 89 33  
6 - 8 0 0 -1,365 0 29 29 29 29 6 - 8
7 - 8 7 1,73 1,833 10 29 36 42 29 7 - 8
8 - 9 4 1 0,308 4 33 37 41 33 8 - 9
Тож и σi - данные из таблицы 4 для всех реализаций будут одинаковыми;
γ – берётся из приложения 2

. Для первой реализации берём первый столбец и для каждой работы выписываем своё значение γ1, γ2, …, γn. Записываем в таблицу 6. По формуле (1) рассчитываем новые продолжительности работti и записываем в таблицу 6.
По данным ti:
- построить новую сетевую модель;
- на сетевой модели определить и заполнить сектора основных характеристик;
- определить продолжительность критического пути сетевого графика,
- выполняем все остальные расчёты, которые заносим в таблицу 6.
Рисунок 4 - Первая реализация сетевой модели
Для 2-й реализации берём второй столбец из приложения 2 и заполняем вторую таблицу (по форме таблицы 6) и т.д. Для каждой таблицы строим свою сетевую модель и определяем показатели.
Результаты статистических испытаний сетевой модели по десяти реализациям сводят в таблицу 7, уточняются работы, находящиеся на критическом пути и для них по каждой реализации подсчитывается продолжительность критического пути Ткр.
Таблица 7 - Вторая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -1,303 4 4 11 17 4 1 - 2
2 - 3 8 2,23 -1,103 5 9 17 25 23  
2 - 4 12 3,16 1,181 16 20 32 44 20 2 - 4
2 - 5 0 0 -0,58 0 4 4 4 5  
3 - 6 9 2,45 -0,151 9 31 40 49 31  
4 - 6 13 3,46 -0,712 11 31 44 57 31 4 - 6
5 - 7 13 3,46 -0,149 13 17 30 43 21  
5 - 9 28 7,14 0,526 32 37 65 93 37  
6 - 8 0 0 -0,027 0 31 31 31 31 6 - 8
7 - 8 7 1,73 -0,154 6 31 38 44 31 7 - 8
8 - 9 4 1 2,537 6 37 41 45 37 8 - 9
Рисунок 5 - Вторая реализация сетевой модели
Таблица 8 - Третья реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,671 5 5 12 18 5 1 - 2
2 - 3 8 2,23 0,176 8 13 21 29 28  
2 - 4 12 3,16 -0,168 11 16 28 40 18  
2 - 5 0 0 0,539 0 5 5 5 5 2 - 5
3 - 6 9 2,45 -1,592 5 31 40 49 33  
4 - 6 13 3,46 0,567 15 31 44 57 33  
5 - 7 13 3,46 1,359 18 23 36 49 23 5 - 7
5 - 9 28 7,14 -0,783 22 38 66 94 38  
6 - 8 0 0 -0,251 0 33 33 33 33  
7 - 8 7 1,73 1,804 10 33 40 46 333 7 - 8
8 - 9 4 1 1,22 5 38 42 46 38 8 - 9
Рисунок 6 – Третья реализация сетевой модели
Таблица 9 - Четвертая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,14 6 6 13 19 6 1 - 2
2 - 3 8 2,23 1,099 10 16 24 32 24  
2 - 4 12 3,16 -0,238 11 17 29 41 17 2 - 4
2 - 5 0 0 0,955 0 6 6 6 13  
3 - 6 9 2,45 -1,213 6 30 39 48 30  
4 - 6 13 3,46 -0,085 13 30 43 56 30 4 - 6
5 - 7 13 3,46 -0,76 11 17 30 43 24  
5 - 9 28 7,14 -1,95 14 33 61 89 33  
6 - 8 0 0 -0,251 0 33 33 33 33  
7 - 8 7 1,73 1,804 10 33 40 46 333 7 - 8
8 - 9 4 1 1,22 5 38 42 46 38 8 - 9
Рисунок 7 - Четвертая реализация сетевой модели
Таблица 10 - Пятая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,018 6 6 13 19 6 1 - 2
2 - 3 8 2,23 -0,092 8 14 22 30 29  
2 - 4 12 3,16 0,56 14 20 32 44 20 2 - 4
2 - 5 0 0 -1,128 0 6 6 6 8  
3 - 6 9 2,45 0,189 10 39 48 57 39  
4 - 6 13 3,46 1,792 19 39 52 65 39 4 - 6
5 - 7 13 3,46 0,214 14 20 33 46 32  
5 - 9 28 7,14 0,854 34 42 70 98 42  
6 - 8 0 0 0,494 0 39 39 39 39 6 - 8
7 - 8 7 1,73 0,103 7 39 46 52 39  
8 - 9 4 1 -0,371 3 42 46 50 42 8 - 9
Рисунок 8 - Пятая реализация сетевой модели
Таблица 11 - Шестая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 1,565 9 9 16 22 11  
2 - 3 8 2,23 -0,482 7 16 24 32 24  
2 - 4 12 3,16 -1,847 6 15 27 39 17  
2 - 5 0 0 0,73 0 9 9 9 9  
3 - 6 9 2,45 -1,014 7 29 38 47 31  
4 - 6 13 3,46 0,116 14 29 42 55 31  
5 - 7 13 3,46 0,446 15 24 37 50 24 5 - 7
5 - 9 28 7,14 0,084 28 35 63 91 35 5 - 9
6 - 8 0 0 -0,022 0 32 32 32 32  
7 - 8 7 1,73 0,759 8 32 39 45 32 7 - 8
8 - 9 4 1 -1,21 3 35 39 43 35 8 - 9
Рисунок 7 – Шестая реализация сетевой модели
Таблица 12 - Седьмая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,284 6 6 13 19 6 1 - 2
2 - 3 8 2,23 0,543 9 15 23 31 25  
2 - 4 12 3,16 -0,061 12 18 30 42 19  
2 - 5 0 0 0,979 0 6 6 6 6 2 - 5
3 - 6 9 2,45 -0,678 8 32 41 50 33  
4 - 6 13 3,46 0,252 14 32 45 58 33  
5 - 7 13 3,46 0,682 16 22 35 48 26  
5 - 9 28 7,14 0,552 32 38 66 94 38 5 - 9
6 - 8 0 0 0,383 0 32 32 32 33  
7 - 8 7 1,73 0,054 7 32 39 45 33  
8 - 9 4 1 0,906 5 38 42 46 38  
Рисунок 8 - Седьмая реализация сетевой модели
Таблица 13 - Восьмая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 -0,622 5 5 12 18 5 1 - 2
2 - 3 8 2,23 -0,218 7 12 20 28 25  
2 - 4 12 3,16 0,578 14 19 31 43 19 2 - 4
2 - 5 0 0 1,812 0 5 5 5 14  
3 - 6 9 2,45 -0,412 8 33 42 51 33  
4 - 6 13 3,46 -1,676 7 33 46 59 33 4 - 6
5 - 7 13 3,46 0,584 15 18 31 44 27  
5 - 9 28 7,14 -0,757 22 36 64 92 36  
6 - 8 0 0 -1,253 0 33 33 33 33 6 - 8
7 - 8 7 1,73 -0,504 6 33 40 46 33  
8 - 9 4 1 -0,604 3 36 40 44 36 8 - 9
Рисунок 9 - Восьмая реализация сетевой модели
Таблица 14 - Девятая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 2,073 10 10 17 23 10 1 - 2
2 - 3 8 2,23 -1,683 4 14 22 30 27  
2 - 4 12 3,16 0,513 13 23 35 47 23 2 - 4
2 - 5 0 0 0,195 0 10 10 10 17  
3 - 6 9 2,45 0,165 10 37 46 55 37  
4 - 6 13 3,46 0,121 14 37 50 63 37 4 - 6
5 - 7 13 3,46 -0,126 13 23 36 49 30  
5 - 9 28 7,14 -1,108 20 39 67 95 39  
6 - 8 0 0 -0,728 0 37 37 37 37 6 - 8
7 - 8 7 1,73 0,066 7 37 44 50 37  
8 - 9 4 1 -1,361 2 39 43 47 39 8 - 9
Рисунок 10 - Девятая реализация сетевой модели
Таблица 15 - Десятая реализация сетевой модели
Код работы Тож
σi
γ
ti
tрн
tро
tпн
tпо
Работы на критическом пути
1 - 2 7 1,73 2,073 10 10 17 23 10 1 - 2
2 - 3 8 2,23 -1,683 4 14 22 30 27  
2 - 4 12 3,16 0,513 13 23 35 47 23 2 - 4
2 - 5 0 0 0,195 0 10 10 10 17  
3 - 6 9 2,45 0,165 10 37 46 55 37  
4 - 6 13 3,46 0,121 14 37 50 63 37 4 - 6
5 - 7 13 3,46 -0,126 13 23 36 49 30  
5 - 9 28 7,14 -1,108 20 39 67 95 39  
6 - 8 0 0 -0,728 0 37 37 37 37 6 - 8
7 - 8 7 1,73 0,066 7 37 44 50 37  
8 - 9 4 1 -1,361 2 39 43 47 39 8 - 9
Рисунок 11 - Десятая реализация сетевой модели
Таблица 7 - Результаты статистических испытаний сетевой модели
Код работы Значения ti по 10 реализациям сетевой модели
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 - 2 6 4 5 6 6 9 6 5 10 7
2 - 3 9 5 8 10 8 7 9 7 4 14
2 - 4 19 16 11 11 14 6 12 14 13 18
2 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 - 6 8 9 5 6 10 7 8 8 10 9
4 - 6 4 11 15 13 19 14 14 14 14 12
5 - 7 15 13 18 11 14 15 16 13 13 15
5 - 9 27 32 22 14 34 28 32 20 20 32
6 - 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 - 8 10 6 10 6 7 8 7 6 7 9
8 - 9 4 6 5 3 3 3 5 3 2 3
Ткр
35 43 38 33 42 54 38 36 39 33
* Работы, лежащие на критическом пути.
По окончания намеченного числа реализаций оценивается надёжность завершения работ в заданный срок Тд = 33 дня:
Р(Ткр≤Тд) = lim Ni N,
где Ni- число реализаций, в которых выполняется условие (2)