Определение и основные свойства дзета-функции Римана

Re s=12.
Символ Re s обозначает вещественную часть s.
Дзета-функцией Римана ζ(s) может быть определена или рядом Дирихле, или бесконечным произведением Эйлера. Остановимся на первом определении, а второе получим как лемму.
Определение.  Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда, если она существует. [3]
ζ(s)=n=1∞1ns.
Из определения следует, что ζ(s)- аналитическая функция в полуплоскости Re s1.
Лемма (формула Эйлера). При Res1 справедливо следующее равенство
ζ(s)=p(1-1ps)-1.
Доказательство. При целом X≥2, Res1, в силу абсолютной сходимости рядов 1+1ps+1p2s+… и однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители, имеем
p≤X1-1ps-1=p≤X1+1ps+1p2s+… =n≤X1ns+Rs;X,
гдеRs;X≤nX1ns=nX1nσ≤1σ-1X1-σ.
Переходя к пределу при X→+∞, получим утверждение леммы.
Следствие. ζ(s)≠0 при Re s1.
В самом деле, при Re s=σ1
1ζ(s)=p1-1ps≤p1+1pσn=1∞1nσ≤
≤1+1∞duuσ=σσ-1; ζ(s)σ-1σ0.
Продолжим ζ(s) в полуплоскость Re s0.
Лемма

. При Res0, N≥1, имеет место равенство
ζ(s)=n=1N1ns+N1-ss-1-12N-s+sN∞ρuus+1du,
где ρu=12-u.
Доказательство. Возьмем натуральное число MN, применим следующую формулу
N+12n≤M+121ns=N+12M+12duus+sN+12M+12ρuus+1du=11-sM+121-s+1s-1N1-s-
-12N-s+sNM+12ρuus+1du.
Следовательно, при Re s1
ζ(s)=n=1N1ns+N1-ss-1-12N-s+sN∞ρuus+1du.
Но последний интеграл определяет аналитическую функцию в полуплоскости Re s0. В силу принципа аналитического продолжения следует утверждение леммы [3].
Следствие. ζ(s)- функция аналитическая в полуплоскости Re s0 за исключением точки s=1; в точке s=1 дзета-функция ζ(s) имеет простой полюс с вычетом, равным 1.
Прежде чем продолжить ζ(s) на всю -плоскость, докажем лемму.
Лемма. Пусть x0, α- вещественное,
θx,α=n=-∞+∞e-πxn+α2,
тогда
θ1x,α=xn=-∞+∞e-πn2x+2πinα.
Доказательство. Не нарушая общности, можно считать 0≤α1. Возьмем N10, M=N5, и рассмотрим интеграл
In=-0,5+0,5sinπ2M+1usinπue-πxn+α+u2du.
так как
-0,5+0,5sinπ2M+1usinπudu=k=-M+Me-2πikudu=1,
то
In=e-πxn+α2+Rn,
где
Rn=-0,5+0,5sinπ2M+1usinπue-πxn+α+u2-e-πxn+α2du.
Оценим R(n) при условии, что -N≤n≤N