Определение и основные свойства дзета-функции Римана
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Актуальность исследования. В 1737 году Л. Эйлером была введена дзета-функция, как функция вещественной переменной. Эйлер вывел разложение дзета-функции в произведение по всем простым числам. Наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены Б. Риманом в 1859, где дзета-функция рассматривалась, как функция комплексной переменной. При изучении дзета-функции, Риман дал гипотезу о расположении её нулей на комплексной плоскости. Более двухсот лет, эта гипотеза тревожит умы многих математиков и остается недоказанной по сей день. Таким образом, выбор темы «Нули дзета-функции. Гипотеза Римана» является актуальным. Объект исследования – нули дзета-функции. Гипотеза Римана. Предмет исследования – дзета-функция. Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению задач по теме «Нули дзета-функции. Гипотеза Римана». Задачи исследования: Изучить определение и основные свойства дзета-функции Римана. Рассмотреть простейшие теоремы о нулях. Изучить приближение конечной суммы. Провести исследование нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Работа состоит из введения, четырёх параграфов и заключения.
Определение и основные свойства дзета-функции Римана
Re s=12. Символ Re s обозначает вещественную часть s. Дзета-функцией Римана ζ(s) может быть определена или рядом Дирихле, или бесконечным произведением Эйлера. Остановимся на первом определении, а второе получим как лемму. Определение. Дзета-функцие...
Открыть главуПростейшие теоремы о нулях
Из теоремы 1 видим, что при s=-2, -4, …,-2n,…, дзета-функция равна 0, так как при этих значениях s Г-10,5s=0; при s=0 дзета-функция не равна 0, так как нуль Г-10,5s гасится полюсом ζ1-s. Выписанные нули называются тривиальными. Кроме тривиальных дзет...
Заключение
Дзета-функция Римана является уникальным объектом исследования и имеет много интересных обобщений, в частности о теоретико-числовых дзета-функциях [3]. Одним из крупнейших событий в математике ХХ в. было доказательство гипотез А. Вейля для дзета-функции Хассе – Вейля. Дзета-функция применяется в статистической механике и в квантовой теории поля [4]. Такие обобщения дзета-функции строятся по неотрицательному самосопряженному ператору. Обычная дзета-функция Римана часто входит в формулы квантовой статистики. К известным примерам можно отнести закон Стефана – Больцмана теплового излучения абсолютно черного тела. Считается, что дзета-функцию ввел Л. Эйлер, который впервые вычислил сумму известного задолго до него следующего числового ряда Он решил эту задачу несколькими способами, например разложением функции sinx/x в бесконечное произведение с применением теоремы Виета (если рассматривать эту функцию как многочлен). Новое понимание дзета-функции и ее приложений для теории чисел внес в XIX в. Б. Риман. Он предложил рассматривать дзета-функцию как функцию комплексной переменной. Б. Риман вывел функциональное уравнение и с его помощью построил аналитическое продолжение, а также сформулировал знаменитую гипотезу о нетривиальных нулях дзета-функции. Согласно этой гипотезе, нетривиальные нули ζ(s) лежат на прямой c действительной частью s=12 . Это утверждение до сих пор не доказано. Данная курсовая работа посвящена теме: «Нули дзета-функции. Гипотеза Римана». В процессе выполнения работы были решены следующие задачи: Изучено определение и основные свойства дзета-функции Римана. Рассмотрены простейшие теоремы о нулях. Изучено приближение конечной суммы. Проведено исследование нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Таким образом, в данной работе были выполнены все поставленные задачи, значит, цель данной работы реализована полностью.
Список литературы
www.gramota.net/materials/1/2015/6/33.html Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции/Г. Бейтмен, А. Эрдейи; пер. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. Воронин, С.М. Дзета-функция Римана/С.М. Воронин, А.А. Карацуба. - М. : Физматлит, 1994г. - 376с. Градштейн, И. С., Рыжик, И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ФМЛ, 1962 1100 с. Карацуба, А.Л. Основы аналитической теории чисел. 2-е над.— М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983, 240 с. Манин Ю.И., Панчишкин Л.Ю. Введение в современную теорию чисел. Москва, МНЦМО, 2009, 552 с. Пустыльников, Л.Д.. Об одном свойстве классической дзета-функции, связанном с гипотезой Римана // УМН (1999), 54:1, 260–261. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука (ФМЛ), 1979 832 с. Титчмарш, Е.К. Теория дзета-функции Римана/Е.К. Титчмарш; пер. М.А. Евграфов. - М. : Москва, 1953г. - 387с. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М.: ФМЛ, 1963 Ч. 2 Трансцендентные функции. 516 с. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2 Москва, Физматгиз, 1963, 516 с. Харт Н. Геометрическое квантование в действие. Москва, Мир, 1985, 343 с. Харди, Г. Расходящиеся ряды/ Г. Харди; пер. Д.А. Райков. - М. : Москва, 1951г. - 498с. Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, пер. с англ., М., 1973. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука (ФМЛ), 1968 344 с.
