Математическая модель

Динамика движения газа в циклонных аппаратах описана уравнениями Навье-Стокса, которые можно представить в векторной форме:
dϑdt=F-1ρgradp+v∆ϑ
(1)
Где ϑ- вектор скорости газа; F- вектор массовой силы; ρ – плотность газа; v- кинематическая вязкость газа.
После сложных математических преобразований и при заданных граничных условиях, описывающих конструкцию циклонного пылеуловителя было получено уравнение для расчета давления газа в любой точке аппарата  [3] :
P=ρvrφ[BφZ2r+AB0r+J1Kre-KZ]
(2)
где :
A=ѱKvвхeKb2J1KR2/ (1-b2HeK2H-b2)
(3)
B=2ѱR2vвхeK(2H+b)2Hπ-α/ (1-b2HeK2H-b2)
(4)
где a - ширина входного патрубка, м; b - высота входного патрубка, м; Н - высота циклонного пылеуловителя, м; R2 - радиус внутреннего корпуса циклонного пылеуловителя, м; ѱ - коэффициент живого сечения жалюзийной сетки; vвх - средняя входная скорость, м/с; α - центральный угол жалюзийной сетки, рад;
Общее аэродинамическое сопротивление циклонного пылеуловителя рассчитывается по формуле:
∆P= ∆P1+∆P2
(5)
где:
∆P1= PR2-a2;0;b2-P(R1,π-α2, H0)
(5)
∆P1 - падение давления в выходной трубе

. P(r,ϕ,Z) определяется по формуле (2); ∆P2 - падение давления в выходной трубе:
∆P2= λH0ρQ24π2R15
(6)
Где H0- высота выходной трубы; R1- радиус выходной трубы; Q – расход газа; λ - коэффициент гидравлического трения в выходной трубе.
Фракционная эффективность улавливания твердых частиц в циклонном пылеуловителе рассчитывается по формуле:
ηδ= nStkmK1
(7)
где:
Stkm=dч2vпρчDμ
(8)
ρч – плотность частиц, кг/м3; D – диаметр аппарата, м; µ- динамическая вязкость газа, Па*с; vп- скорость в сечении аппарата, м\с; K=C/ρч (C – концентрация частиц пылегазовой смести, кг/м3); n, n, l – безразмерные коэффициенты, которые определяются экспериментальным путем.
Полная эффективность циклонного пылеуловителя рассчитывается по формуле:
η=i=1i=n ni(δ)φi(δ)
(9)
Где φi- плотность вероятности распределения размеров частиц пыли.
Вероятность попадания частицы определенного размера в внешний корпус циклонного пылеуловителя рассчитывается следующим образом.
Частица с диаметром δ, имеющая начальные координаты r0(R1R0R2), φ0=0, Z0(0Z0b), за час τ получит новые координаты: rτ= r0+vгτг; Zτ=vZτz; φτ=vφτφR1+R2.
Для того, чтобы частица попала на поверхность жалюзийного элемента, необходимо выполнение неравенств:
r0+vгτгR2; vZτzb; vφτφR1+R2α
(10)
Отсюда находим:
τг=R2-r0vг; τz=bvz; τϕ=α(R1+R2)vφ
(11)
Так как minr0=R1, то τг=R1+R2vг.
Запишем начальные координаты частицы, которая достигает жалюзийного элемента циклонного пылеуловителя:
r*= R1+vгτmin; φ*=0; Z*=vzτmin (12)
Вероятность попадания частицы на поверхность жалюзийного элемента циклонного пылеуловителя равно:
F1=r**Z*ab
(13)
Вероятность попадания частицы внутрь внешнего корпуса циклонного пылеуловителя при условии, что она находится на поверхности жалюзийного элемента, равна:
F2=0,5ѱ
(14)
Это равенство объясняется тем, что жалюзийный элемент ограничивает застойную зону, на границе которой происходят пульсации скоростей, которые равновероятны по амплитуде и знаку.
По теореме умножения вероятно зависимых событий находим вероятность оседания частиц внутри внешнего корпуса циклонного пылеуловителя:
F=F1*F2=ѱZ*r*2ab
(15)