Исследование графиков функций на симметричность

Введем необходимые определения.
Функция y=f(x) называется четной, если при любых значениях x, принадлежащих области определения D(f), верно равенство f-x=f(x).
Функция y=f(x) называется нечетной, если при любых значениях x, принадлежащих области определения D(f), верно равенство f-x=-f(x).
Рассмотрим степенную функцию y=xn, где n- целое число. Если n – четное число, то и функция является четной, если n – нечетное число, то и функция является нечетной. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Доказать, что функция y=x4 – четная [23].
Решение. fx=x4, f-x=(-x)4, но, как мы знаем, любое число в четной степени будет неотрицательным, то (-x)4=x4. А это значит, что для любого значения x верно равенство f-x=f(x), откуда следует, что функция является четной.
Пример 2. Доказать, что функция y=x3 – нечетная [23].
Решение. fx=x3, f-x=(-x)3. В свою очередь, (-x)3=-x3. А это значит, что для любого значения x верно равенство f-x=-f(x), откуда следует, что функция является нечетной.
Аналогично доказываются свойства четности или нечетности и других функций вида y=xn.
Но существуют случаи, когда функции не являются ни четными, ни нечетными. Например, y=2x+3. Докажем это: fx=2x+3, возьмем любое значение x, например, x=1, тогда f1=5; f-x=2(-x)+3, -x=-1, тогда f-1=1. Не сложно заметить, что -fx=-(2x+3), т.е. -f1=-5. Получаем, f-x≠fx и f-x≠-fx. А это значит, что данная функция не обладает свойствами четности и нечетности.
Вывод: функция может быть четной, нечетной, а может не обладать свойствами четности и нечетности.
Числовое множество X называется симметричным множеством, если для каждого его значения x оно содержит и противоположное ему значение -x. Например, -7;7, -3;3,(-∞; +∞) – симметричные множества, а -3;8,-2;5, -8;4, (-∞;3) – несимметричные множества.
«Если функция y=f(x) – четная или нечетная, то ее область определения D(f) – симметричное множество» [23]. Если область определения функции не является симметричным множеством, то такая функция не обладает свойствами четности и нечетности.
Теперь рассмотрим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.
Если функция четная, т.е. f-x=f(x), то получается, что абсциссы являются противоположными числами, а ординаты при этом одинаковы

. Это значит, что график будет симметричен относительно оси ординат (рис. 1).
А если функция нечетная, т.е. f-x=-f(x), то абсциссы являются противоположными числами, и ординаты также являются противоположными числами. Это значит, что график будет симметричен относительно начала координат (рис. 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Вывод:
если функция y=f(x) – четная, то график симметричен относительно оси ординат;
если функция y=f(x) – нечетная, то график симметричен относительно начала координат.
Также верны и обратные утверждения:
если график функции симметричен относительно оси y, то функция – четная;
если график симметричен относительно начала координат, то функция – нечетная.
Кроме того можно заметить, что в случае нечетной функции график либо убывает, либо возрастает на всей области определения. Когда функция четная, одна часть графика возрастает, а симметричная ей – убывает.
Ю.Н. Макарычев в учебнике по алгебре для 9 класса вводит следующее определение возрастающей и убывающей функции: «Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции» [18].
Используя симметрию, строятся графики функций и уравнений вида
y=fx, y =f x, y=fx, y=|fx|.
Например, построим график функции y=|x-4|.
Рассмотрим вначале функцию y=x-4 и построим для нее график.
Данная функция – линейная, графиком является прямая (рис. 3).
Рис. 3
Рис. 4
Для того, чтобы построить график модуля, необходимо часть графика, лежащего ниже оси абсцисс симметрично отобразить относительно этой оси. Данное действие объясняется тем, что модуль отрицательного числа – число положительное. Следовательно, при тех же значениях x значения y в функции модуля будут противоположны значениям обычной линейной функции.
Рассмотрим симметрию графиков основных видов функций и их некоторые свойства, изучаемых в школьном курсе алгебры (таблица 1).
Таблица 1. Свойства графиков функций
Функция График Свойства
y=x
Рис. 3. Прямая 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех действительных чисел.
3