Использование Интегральных уравнений в математической физике

Введение

Теория интегральных уравнений составляет значительный отдел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. Интегральные уравнения – это уравнения, в которых искомая функция стоит под знаком интеграла. Интегральные уравнения широко применяются в прикладной математике. Так к интегральным уравнениям сводятся многие задачи математической физике, в частности, задача Штурма-Лиувилля, граничные задачи. Интегральные уравнения встречаются при описании самых разнообразных процессов. Иногда высказывается точка зрения, что интегральные уравнения являются первичными, а дифференциальные – вторичными. Действительно, фундаментальные законы сохранения выражаются интегральными уравнениями баланса вещества, импульса, энергии. Большое число решений, содержащих разрывы или какие-либо особенности, может быть описано только при помощи интегральных уравнений. К таким решениям относят, например, ударные волны.[7] Область, где интегральные уравнения находят применение, достаточно обширна. Так, они широко применяются в задачах статической теории упругости и задачах обтекания в гидродинамике.[4] Также метод интегральных уравнений играет важную роль в теории колебаний. в задачах об устойчивости сжатых стержней и многих других задачах. Теория интегральных уравнений играет значительную роль в современной математике и ее практических приложениях. В то же время этот раздел относится к числу наименее изученных и содержит большое число задач, требующих решения. Это определяет актуальность работ, посвященных исследованию интегральных уравнений. Цель работы: изучить основные понятия теории интегральных уравнений, рассмотреть некоторые её приложения в математической физике. Задачи: дать исторический обзор теории интегральных уравнений, рассмотреть основные типы интегральных уравнений, описать алгоритмы их решения, а также показать применение алгоритмов на примерах.